數學規劃（Mathematical Programming）係指透過建立數學模型，系統性 分析決策變數之最佳組合，以達成特定目標函數最大化或最小化之方 法。其中…

題目

數學規劃（Mathematical Programming）係指透過建立數學模型，系統性 分析決策變數之最佳組合，以達成特定目標函數最大化或最小化之方 法。其中，「線性規劃（Linear Programming）」專注於處理線性最佳化問 題，強調在資源有限條件下，進行最有效率之資源配置與運用，以達成 整體效益最大化。 某地方環保機關清潔隊因人力資源有限，為確保各項專案任務能於預定 期限內完成，須評估部分專案採行委外辦理之可行性，並進行整體執行 規劃。該清潔隊評估各專案採自行執行或委外執行（委外獎勵金已扣除 相關委外成本）時，皆可獲得相應之淨獎勵金（Net Reward），其各專案 之淨獎勵金及所需人力工時如下表所示。目前清潔隊自行執行專案時， 可支配之總人力工時為4,800 小時，且各專案須採整體決策方式辦理， 不得拆分執行，亦即每一專案僅能選擇由清潔隊完全自行執行或完全委 外辦理，不得部分自行執行、部分委外。 請以線性規劃之數學模式（Formulation），說明該清潔隊應如何規劃各專 案之執行決策，以使該清潔隊整體獎勵收益達到最大化（僅需說明計算 方式，無需實際求解）。（25 分） 專案 A B C D E 自行執行 淨獎勵金 30,000 10,000 26,000 18,000 20,000 委外執行 淨獎勵金 6,000 2,000 8,000 9,000 4,000 人力工時 需求（小時） 1,300 1,000 1,400 1,600

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、決策變數與資料檢核：設 x_i=1 表專案 i 由清潔隊自行執行，x_i=0 表委外，i=A,B,C,D,E。表中 A、B、C、D 的人力工時分別為 1,300、1,000、1,400、1,600 小時，惟 E 的工時未列出，應設為 h_E；題目資料缺漏，無法得出唯一數值，也不能擅自填入。以下以符號建立完整模式。
• 二、目標函數：令 S_i 為自行執行淨獎勵金、O_i 為委外淨獎勵金。總淨獎勵收益為 Z=Σ_i [S_i x_i + O_i(1-x_i)]，化簡為 Z=Σ_i O_i + Σ_i (S_i-O_i)x_i。以題給資料，S-O 分別為 A 24,000、B 8,000、C 18,000、D 9,000、E 16,000，故最大化 Z 等價於最大化 Σ d_i x_i，其中 d_i=S_i-O_i。
• 三、限制式：人力限制為 Σ_i h_i x_i ≤ 4,800，其中 h_A=1,300、h_B=1,000、h_C=1,400、h_D=1,600、h_E 未知；全體專案不得拆分，故 x_i∈{0,1}。此為 0-1 整數線性規劃（Binary Integer Linear Programming），亦可視為 0-1 背包問題（0-1 Knapsack Problem）。若忽略不可拆分，才可放寬為 0≤x_i≤1 的線性規劃。
• 四、計算方式：先算全部委外基準收益 ΣO_i=29,000；再以 d_i/h_i 計算每增加一小時人力所增淨收益，作為排序與分支定界的啟發式。因人力上限與不可拆分，仍須以窮舉 2^5=32 組、分支定界或整數規劃求解器求真正最佳解，不能只依比值貪婪選取。
• 五、判定規則與資料缺口：對任一候選組合，先檢查 Σh_i x_i≤4,800，再計算 Z=29,000+Σd_i x_i，取最大者；最適解可能因 h_E 而改變。因 E 的工時缺漏，無法完成唯一數值求解，僅能建立上述模式；應補齊 h_E 後再求解，並進行敏感度分析（如 h_E 變動、獎勵金變動），以確認決策穩健性。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

• 官方試題 PDF