民國114年 高考三級 農業行政 統計學
第1題
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分） f(x, y)= C(x+2y) 0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1 =0 其他 計算C 值。 計算…
題目
假設X 與Y 的二元機率密度函數為（每小題4 分，共20 分） f(x, y)= C(x+2y) 0≦x ≦1; 0 ≦y ≦1 =0 其他 計算C 值。 計算X 的期望值。 計算機率P(X>0.5)。 計算Y 的期望值。 計算Y 大於1/3 的機率。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、聯合機率密度函數須滿足總機率為 1（normalization，正規化）：∫₀¹∫₀¹ C(x+2y) dx dy = C[∫₀¹x dx + 2∫₀¹y dy] = C(1/2 + 1) = 3C/2 = 1，故 C = 2/3。此步驟先對 x 積分再對 y 積分，結果相同。
- 二、X 的邊際密度（marginal density）f_X(x) = ∫₀¹ (2/3)(x+2y) dy = (2/3)(x+1)，0 ≤ x ≤ 1。故 E(X) = ∫₀¹ x·(2/3)(x+1) dx = (2/3)(1/3 + 1/2) = (2/3)(5/6) = 5/9 ≈ 0.556。
- 三、P(X > 0.5) = ∫₀.₅¹ (2/3)(x+1) dx = (2/3)[x²/2 + x] 由 0.5 到 1 = (2/3)(1.5 − 0.625) = (2/3)(0.875) = 7/12 ≈ 0.583。
- 四、Y 的邊際密度 f_Y(y) = ∫₀¹ (2/3)(x+2y) dx = (2/3)(1/2 + 2y)，0 ≤ y ≤ 1。E(Y) = ∫₀¹ y·(2/3)(1/2+2y) dy = (2/3)(1/4 + 2/3) = (2/3)(11/12) = 11/18 ≈ 0.611。
- 五、P(Y > 1/3) = ∫₁/₃¹ (2/3)(1/2+2y) dy = (2/3)[y/2 + y²] 由 1/3 到 1 = (2/3)(3/2 − 5/18) = (2/3)(11/9) = 22/27 ≈ 0.815。可檢驗兩機率均介於 0 與 1 之間，結果合理。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。