民國114年 高考三級 農業行政 統計學
第2題
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人， 調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意…
題目
三家A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取400、600 和800 人， 調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意 不願意 總和 請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。 ⑴列出虛無假設H0 和對立假設H1。（3 分） ⑵寫出檢定統計量及其在H0 為真下的分配。（5 分） ⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為0.05。（3 分） ⑷計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分） 若只有A 和B 兩種品牌，請檢定A 和B 品牌用戶下次購買相同品 牌的比例是否相等。 ⑴列出H0 和H1。（3 分） ⑵請使用和 不同的檢定統計量，寫出其在H0 為真下的分配。請 說明何以為此分配。（6 分） ⑶計算p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為0.05。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、第一部分為三母體比例的「同質性檢定」（test of homogeneity），資料呈現為 2×3 列聯表（contingency table），總樣本 n = 400+600+800 = 1800。H0：p_A = p_B = p_C（三品牌再購同品牌比例全部相等）；H1：三比例不全相等（至少有一品牌與其他不同）。題幹表格的觀察次數（願意、不願意）數值缺漏，故僅能建立檢定架構。
- 二、檢定統計量 χ² = ΣᵢΣⱼ (Oᵢⱼ − Eᵢⱼ)²/Eᵢⱼ，期望次數 Eᵢⱼ = (第 i 列總和 × 第 j 行總和)/n。在 H0 為真且各格期望次數足夠（一般要求 ≥ 5）下，χ² 近似卡方分配（chi-square distribution），自由度 = (2−1)(3−1) = 2。
- 三、臨界值法：α = 0.05，查表 χ²₀.₀₅,₂ = 5.991。若實得 χ² > 5.991 則拒絕 H0，判定三品牌再購比例不全相等；若 ≤ 5.991 則不拒絕 H0。p 值 = P(χ²₂ ≥ 實得值)，p < 0.05 即拒絕 H0。因表格數字缺漏，無法得出唯一統計量、p 值與結論，考生須代入實際觀察次數計算。
- 四、第二部分僅有 A、B 兩品牌：H0：p_A = p_B；H1：p_A ≠ p_B（雙尾）。採兩獨立樣本比例檢定（two-sample proportion z test），統計量 z = (p̂_A − p̂_B)/√[p̂(1−p̂)(1/400 + 1/600)]，其中 p̂ = (x_A + x_B)/1000 為合併比例（pooled proportion），p̂_A、p̂_B 為各品牌樣本比例。
- 五、在 H0 下 z 近似標準常態分配 N(0,1)。理由：兩品牌樣本相互獨立，各為二項分配，樣本數大時由中央極限定理（CLT）樣本比例趨近常態；H0 下共同比例以合併估計量 p̂ 取代，標準化後趨近標準常態。α = 0.05 雙尾臨界值為 ±1.96，|z| > 1.96 則拒絕 H0；p 值 = 2P(Z ≥ |z|)。實際數值因資料缺漏無法算出。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。