民國114年 高考三級 農業行政 統計學
第4題
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽 取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A B 假設兩家生產的端子膜厚…
題目
A 和B 兩家公司皆生產相同規格之端子。分別自A 和B 公司隨機抽 取端子並衡量其膜厚，數據如表所示。 公司 膜厚(單位：mm) A B 假設兩家生產的端子膜厚變異數相等，請寫出膜厚變異數之估計量 及估計值。（6 分） 請寫出兩家膜厚平均值差之估計量及估計值。（4 分） 續題 ，欲比較兩家膜厚之平均值是否有差異，請問該用什麼統計 方法？結論為何？顯著水準為0.05。假設兩家膜厚皆服從常態分 配。（10 分） 續題 ，請估計兩家膜厚平均值差之95%信賴區間。（5 分） 附表一：Z 值表 附表二：t 值表 附表三：X^2 值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、兩母體變異數相等時，共同變異數 σ² 的估計量為合併樣本變異數（pooled variance）：s_p² = [(n_A−1)s_A² + (n_B−1)s_B²]/(n_A+n_B−2)，自由度為 n_A+n_B−2，且 E(s_p²) = σ²，具不偏性。因題幹「膜厚」表格數值整欄缺漏，無法算出估計值，考生須以實際 n、s² 代入。
- 二、兩家平均膜厚差的估計量為 x̄_A − x̄_B，其期望值 E(x̄_A − x̄_B) = μ_A − μ_B，故為不偏估計量；變異數為 σ²(1/n_A + 1/n_B)，以 s_p² 取代 σ² 後得估計標準誤 s_p√(1/n_A + 1/n_B)。
- 三、比較兩家平均膜厚是否有差異，應採兩獨立樣本 t 檢定（pooled two-sample t test）。H0：μ_A = μ_B；H1：μ_A ≠ μ_B。統計量 t = (x̄_A − x̄_B)/[s_p√(1/n_A + 1/n_B)]，在 H0 下服從自由度 n_A+n_B−2 的 t 分配；|t| > t₀.₀₂₅,df 則拒絕 H0。因原始數據缺漏，無法得出唯一 t 值與結論。
- 四、平均差之 95% 信賴區間為 (x̄_A − x̄_B) ± t₀.₀₂₅,ₙₐ₊ₙᵦ₋₂ × s_p√(1/n_A + 1/n_B)。判定規則：若區間不含 0，則對應雙尾 α = 0.05 之檢定拒絕 H0，兩者結論一致；若含 0 則不拒絕。數值因資料缺漏無法得出。
- 五、提醒：使用合併 t 檢定前宜先確認兩母體變異數相等（可用 F 檢定或 Levene 檢定），題目已假設相等故可直接使用；若變異數不等，應改用 Welch t 檢定並調整自由度。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。