民國114年 高考三級 農業行政 統計學
第3題
工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機 抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差…
題目
工程師想知道供應商生產的電池平均壽命是否小於240 小時。隨機 抽取電池36 件（n=36），其樣本平均值為235 小時。 假設電池壽命服從常態分配且母體標準差為12 小時。 請檢定電池平均壽命是否低於240 小時。顯著水準為0.1。（5 分） 續上題，寫出檢定統計量分配的拒絕區之臨界值，並寫出此臨界值 對應之樣本平均值。（4 分） 若真實的電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他 們的型II 誤差機率及檢定力。（8 分） 若只有隨機抽取的電池改為100 件（n=100），其他不變。若真實的 電池壽命平均值分別為236 和235 小時，請分別計算他們的型II 誤差機率及檢定力。顯著水準為0.1。（8 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設檢定設定：H0：μ ≥ 240（或 μ = 240）；H1：μ < 240，屬左尾檢定。母體標準差 σ = 12 已知、母體常態，故採 z 檢定。z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (235 − 240)/(12/6) = −5/2 = −2.5。α = 0.1 之臨界值為 −z₀.₁ = −1.2816，因 −2.5 < −1.2816，拒絕 H0，結論為平均壽命顯著低於 240 小時。
- 二、拒絕區為 z < −1.2816，等價於樣本平均值 x̄ < 240 − 1.2816 × (12/√36) = 240 − 2.563 = 237.437 小時。此 237.437 即臨界樣本平均值（critical sample mean），z 分配的拒絕區臨界值為 −1.2816。
- 三、n = 36、真實 μ = 236 時，型 II 誤差 β = P(不拒絕 H0 | μ = 236) = P(x̄ > 237.437 | μ = 236) = P(Z > (237.437−236)/2 = 0.718) ≈ 0.236；檢定力（power）= 1 − β ≈ 0.764。
- 四、真實 μ = 235 時，β = P(Z > (237.437−235)/2 = 1.218) ≈ 0.112；檢定力 ≈ 0.888。可見真實平均值離 μ₀ 越遠，型 II 誤差越小、檢定力越高。
- 五、n = 100 時標準誤為 12/10 = 1.2，臨界樣本平均值 = 240 − 1.2816×1.2 = 238.462。μ = 236：z = (238.462−236)/1.2 = 2.052，β ≈ 0.020、檢定力 ≈ 0.980；μ = 235：z = 2.885，β ≈ 0.002、檢定力 ≈ 0.998。樣本數增大使標準誤縮小，β 明顯下降、檢定力上升。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。