民國115年 高考三級 工業工程 作業研究
第2題
某太空中心計畫將一顆探測器送入預定軌道，只有3 個火箭發射窗口可 供使用，而每個發射窗口至多可以發射5 枚火箭。每枚火箭成功將探測 器送入預定軌道的機率為3/4…
題目
某太空中心計畫將一顆探測器送入預定軌道，只有3 個火箭發射窗口可 供使用，而每個發射窗口至多可以發射5 枚火箭。每枚火箭成功將探測 器送入預定軌道的機率為3/4，失敗機率為1/4。若某一發射窗口被啟用， 則需支付固定的發射準備費用200 萬元。此外，每發射一枚火箭需額外 支付100 萬元的發射成本。只要有任意一枚火箭成功將探測器送入預定 軌道，任務即宣告成功，後續發射窗口將不再使用。若三個發射窗口全 部結束後，仍未能成功將探測器送入預定軌道，則此次太空任務失敗， 並造成800 萬元的任務損失。請利用動態規劃決定在各發射窗口中應發 射多少枚火箭？使太空中心的總期望成本最小。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、問題結構與決策變數。三個發射窗口依序使用，屬多階段序貫決策（sequential decision）問題，宜以倒推式動態規劃（backward dynamic programming）求解。令 n_i 為第 i 個窗口發射之火箭數（i = 1, 2, 3，n_i ∈ {0, 1, …, 5}）；因啟用窗口須付 200 萬元固定準備費，n_i = 0 即等同不啟用。單枚失敗機率 q = 1/4，n 枚全數失敗機率為 (1/4)^n，任務成功機率為 1 − (1/4)^n。成本單位均為萬元。
- 二、遞迴關係。令 V(m) 表示「尚餘 m 個窗口可用且任務尚未成功」時，自該階段起算之最小期望總成本，則邊界條件 V(0) = 800（三窗口全數失敗之任務損失）。對 m ≥ 1：V(m) = min over n = 1…5 of { 200 + 100n + (1/4)^n × V(m−1) }，另可比較「不啟用本窗口」之選項 0 + V(m−1)。由於 200 + 100n 恆為正且 V(m−1) 有限，啟用並發射至少一枚必優於放棄，故最適解中每個被使用之窗口至少發射一枚。
- 三、逆推計算。V(1) = min{300 + 0.25×800 = 500，400 + 0.0625×800 = 450，500 + 0.015625×800 = 512.5，603.125，700.78} = 450（n = 2）。V(2) = min{300 + 0.25×450 = 412.5，400 + 0.0625×450 = 428.125，507.03，601.76，700.44} = 412.5（n = 1）。V(3) = min{300 + 0.25×412.5 = 403.125，400 + 0.0625×412.5 = 425.78，506.45，601.61，700.40} = 403.125（n = 1）。
- 四、最適策略與期望成本。最適策略為：第一窗口發射 1 枚；若失敗（機率 1/4），第二窗口發射 1 枚；若再失敗（機率 1/4），第三窗口發射 2 枚；若三窗口共 4 枚全數失敗（機率 (1/4)^4 = 1/256），任務失敗並損失 800 萬元。總期望成本 = 300 + 0.25 × [300 + 0.25 × (400 + 0.0625 × 800)] = 300 + 0.25 × 412.5 = 403.125 萬元。
- 五、結果驗算與詮釋。以策略分解驗算：固定準備費與發射成本之期望值為 300 + 0.25×300 + 0.0625×400 = 400 萬元，失敗損失期望值為 (1/256)×800 = 3.125 萬元，合計 403.125 萬元，與遞迴結果一致。由於單枚發射成本（100 萬元）相對失敗損失（800 萬元）偏低，前期宜「少量試射、保留窗口」，末段因無退路而加重發射量，呈現剩餘階段愈少、最適發射量愈多之動態規劃典型特徵。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。