民國115年 高考三級 工業工程 作業研究
第3題
某校園有兩個共享單車停放點：東門與西門。一位學生每天早上從校園 離開。他從東門出發的機率為2/3，從西門出發的機率為1/3。若出發的 停放點有共享單車，他就騎一…
題目
某校園有兩個共享單車停放點：東門與西門。一位學生每天早上從校園 離開。他從東門出發的機率為2/3，從西門出發的機率為1/3。若出發的 停放點有共享單車，他就騎一輛單車；若該停放點沒有共享單車，他只 能步行。當他返回校園時，他從東門進入的機率為1/3，從西門進入的機 率為2/3，並將共享單車停放在進入的停放點。假設校園共有兩輛共享單 車，長期而言，該學生必須步行的比例是多少？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、狀態定義與轉移機制。以每天早上出發前「東門停放點之單車數」為狀態，記為 i ∈ {0, 1, 2}，西門則有 2 − i 輛。學生自東門出發機率 2/3、自西門出發 1/3；返回時自東門進入機率 1/3、自西門進入機率 2/3，並將所騎單車停放於進入之停放點。若出發點無車則步行，且無車可停放，狀態維持不變。此為有限狀態、齊次之馬可夫鏈（Markov chain），其轉移機率不隨時間改變。
- 二、轉移機率之推導。狀態 0：自東門出發（2/3）必步行，留於 0；自西門出發（1/3）可取車，返回停東門（1/3）至狀態 1、停西門（2/3）回狀態 0。故 P00 = 2/3 + 2/9 = 8/9，P01 = 1/9。狀態 1：自東門取車後停東門（2/9）留 1、停西門（4/9）至 0；自西門取車後停東門（1/9）至 2、停西門（2/9）留 1。故 P10 = 4/9，P11 = 4/9，P12 = 1/9。狀態 2：自東門取車停東門（2/9）留 2、停西門（4/9）至 1；自西門無車步行（1/3）留 2。故 P21 = 4/9，P22 = 5/9。
- 三、平穩分布之求解。令 π = (π0, π1, π2) 滿足 π = πP 且 π0 + π1 + π2 = 1。由 π0 = (8/9)π0 + (4/9)π1 得 π0 = 4π1；由 π2 = (1/9)π1 + (5/9)π2 得 π2 = π1/4；配合正規化 4π1 + π1 + π1/4 = 1，解得 π1 = 4/21，故 π0 = 16/21、π2 = 1/21。代回第二式檢驗：(16 + 16 + 4)/189 = 36/189 = 4/21，與 π1 相符，驗算無誤。
- 四、步行比例之計算。步行僅發生於「自東門出發且東門無車」或「自西門出發且西門無車」兩種情形，故長期步行比例為 (2/3)π0 + (1/3)π2 = (2/3)(16/21) + (1/3)(1/21) = 32/63 + 1/63 = 33/63 = 11/21，約為 0.5238，即約 52.38% 的早晨必須步行。
- 五、結果詮釋與政策意涵。因返回時停於西門之機率（2/3）高於東門（1/3），單車長期滯留西門，使東門無車（狀態 0）之機率偏高達 16/21，故步行比例超過五成。若欲降低步行率，可於夜間將單車由西門調度回東門，或於東門增設停車樁、提供歸還誘因，此即共享運具系統之再平衡（rebalancing）策略。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。