民國115年 高考三級 電子工程 電磁學
第1題
一平行板電容器，上板面及下板面平行YZ 平面，其中上板x L 電位為 3 伏特，下板為 x 接地，設兩板之間隔為L，假設L夠小，電位函數僅 隨座標ݔ而變且平板面…
題目
一平行板電容器，上板面及下板面平行YZ 平面，其中上板x L 電位為 3 伏特，下板為 x 接地，設兩板之間隔為L，假設L夠小，電位函數僅 隨座標ݔ而變且平板面積夠大使得邊緣效應可以忽略。 由拉卜拉斯方程式（Laplace’s equation），求其間之電位函數。（15 分） 求電場強度。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、建立模型與邊界條件：兩板平行於 YZ 平面，板距為 L；因板面積甚大且忽略邊緣效應（fringing effect），電位僅隨 x 改變，即 V=V(x)。上板 x=L 的電位為 3 V，下板 x=0 接地為 0 V，因此邊界條件為 V(0)=0、V(L)=3。
- 二、解拉卜拉斯方程式（Laplace’s equation）：兩板間無自由電荷，故 ∇²V=0。因 V 只隨 x 變化，方程式化為 d²V/dx²=0。連續積分兩次得 V(x)=C₁x+C₂；代入 V(0)=0 得 C₂=0，再代入 V(L)=3 得 C₁=3/L，所以 V(x)=3x/L，其中 0≤x≤L。
- 三、求電場強度：電場與電位的關係為 E=−∇V。因 V 只隨 x 變化，故 E=−(dV/dx) x方向單位向量=−(3/L) x方向單位向量。其大小為 3/L V/m，方向由高電位板指向低電位板，即朝 −x 方向；因電位呈線性，兩板間電場均勻。
- 四、結果檢核與延伸：V 為線性、E 為定值，符合忽略邊緣效應之平行板模型。單位面積電容為 ε₀/L，兩板電荷面密度大小為 3ε₀/L，上下板符號相反；上板為正電荷、下板為負電荷。以向量表示可寫成 E=−(3/L)eₓ，答題時應註明 eₓ 為 +x 方向單位向量。
- 五、物理意義：電場線垂直於導體板，由正電荷板指向負電荷板；電位隨 x 線性下降。若改取下板為 3 V、上板為 0 V，則電位斜率與電場方向相反，但電場大小仍為 3/L，說明邊界條件的設定會改變電場符號，卻不改變均勻電場的特性。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。