民國115年 高考三級 電子工程 電磁學
第2題
設一螺線環之內半徑和外半徑於XY 上平面分別為c 及d ，截面為長方 形，其高度為L，若纏繞之導線匣數為N ，所通之電流為I 。 求管子內半徑為r 時的磁場。（…
題目
設一螺線環之內半徑和外半徑於XY 上平面分別為c 及d ，截面為長方 形，其高度為L，若纏繞之導線匣數為N ，所通之電流為I 。 求管子內半徑為r 時的磁場。（10 分） 求管子內的磁通量。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、對稱性與安培迴路：螺線環（toroid）之導線沿環向均勻纏繞，理想情況下磁場線為與環同心的圓。取半徑 r（c<r<d）的圓形安培迴路，因對稱性，磁場 B 沿迴路切線方向且大小僅隨 r 改變；環外理想情況無淨磁場，故主要討論管內區域。
- 二、管內磁場：由安培定律（Ampère’s law）∮B·dl=μ₀I_enclosed，半徑 r 的迴路穿過 N 匝導線，總圍繞電流為 NI，故 B(2πr)=μ₀NI，得 B(r)=μ₀NI/(2πr)。方向為方位角方向，可由右手定則判定；若磁芯相對磁導率為 μ_r，則以 μ=μ₀μ_r 取代 μ₀。
- 三、磁通量積分：截面為徑向由 c 至 d、軸向高度為 L 的長方形。取面積元素 dA=L dr，磁通量 Φ=∫_c^d B(r)L dr=∫_c^d μ₀NIL/(2πr) dr，積分得 Φ=μ₀NIL/(2π) ln(d/c)。因 d>c，ln(d/c)>0，故磁通量為正值。
- 四、磁通鏈與電感：若每一匝都鏈過同一磁通，總磁通鏈 λ=NΦ=μ₀N²IL/(2π) ln(d/c)，螺線環自感 L_eq=λ/I=μ₀N²L/(2π) ln(d/c)。題目只問磁通量時答 Φ 即可；若題目改問電感，則需再乘以匝數 N，兩者不可混淆。
- 五、適用條件：本題假設繞線均勻緊密、磁場完全局限於理想磁芯、截面內無漏磁，且 B 僅隨 r 變化。實際螺線環在內外半徑附近仍有邊緣效應與漏磁，上述公式為近似結果；答題時應寫明理想螺線環與均勻磁芯的假設。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。