民國115年 高考三級 電子工程 電磁學
第4題
在笛卡兒座標系中，假設電磁場在真空的電場強度為 ( , ) cos(2 ) ˆ E x t yA ft kx ，其中峰值A、頻率f 、角波數݇均為定值。 證明此…
題目
在笛卡兒座標系中，假設電磁場在真空的電場強度為 ( , ) cos(2 ) ˆ E x t yA ft kx ，其中峰值A、頻率f 、角波數݇均為定值。 證明此電場為波方程式之解。（15 分） 求該電磁場的平均坡印亭向量（Poynting vector）。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、波動方程式：真空無源區域的電場滿足 ∇²E=(1/c²)∂²E/∂t²，其中 c=1/√(μ₀ε₀)。給定電場沿 y 方向、向 x 方向傳播，可寫為 E=y方向 A cos(ωt−kx)，其中 ω=2πf。以下採標準正向行波相位 ωt−kx；若原式相位符號相反，僅傳播方向相反。
- 二、代入驗算：對 x 微分兩次得 ∂²E/∂x²=−k²E；對 t 微分兩次得 ∂²E/∂t²=−ω²E。代回波動方程式，左邊為 −k²E，右邊為 −(ω²/c²)E，故只要 k²=ω²/c²，即 k=ω/c=2πf/c，等式即成立。
- 三、結論與附帶條件：因此該電場為波動方程式之解，但必須滿足真空色散關係 k=2πf/c；若 k 與 f 任意獨立，則不滿足。又 ∇·E=∂E_y/∂y=0，符合真空高斯定律；由法拉第定律可得 B=(1/ω)(k向量×E)，且 B 與 E 同相、互相垂直。
- 四、平均坡印亭向量：瞬時坡印亭向量（Poynting vector）為 S=E×H，H=B/μ₀。對時間取平均，S_avg=(1/2)Re(E×H*)。在真空平面波中 H=(1/η₀)(k方向×E)，η₀=√(μ₀/ε₀)≈377 Ω，故 E×H 的方向為傳播方向，大小平均為 A²/(2η₀)。
- 五、方向與單位：若相位為 ωt−kx，波向 +x，則 S_avg=(A²/(2η₀)) x方向，單位為 W/m²；若原題相位為 ωt+kx，則波向 −x，僅方向相反。A 為峰值，若給的是有效值則不需再除以 2；答題時應註明峰值與有效值的差別。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。