民國115年 高考三級 電信工程 電磁學
第1題
一平行板電容器，上板面及下板面平行YZ 平面，其中上板x L 電位為 3 伏特，下板為 x 接地，設兩板之間隔為L，假設L夠小，電位函數僅 隨座標ݔ而變且平板面…
題目
一平行板電容器，上板面及下板面平行YZ 平面，其中上板x L 電位為 3 伏特，下板為 x 接地，設兩板之間隔為L，假設L夠小，電位函數僅 隨座標ݔ而變且平板面積夠大使得邊緣效應可以忽略。 由拉卜拉斯方程式（Laplace’s equation），求其間之電位函數。（15 分） 求電場強度。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、控制方程式與簡化：兩板之間為無自由電荷的均勻介質，穩態電位滿足拉卜拉斯方程式（Laplace's equation）∇²V=0。因為板面平行 YZ 平面、面積足夠大且間隔 L 很小，所以邊緣效應（fringing effect）可以忽略，電位只隨 x 變化，方程式因此簡化為 d²V/dx²=0。
- 二、通解與邊界條件：對 x 積分兩次得 V(x)=C₁x+C₂。邊界條件為：下板 x=0 接地，V(0)=0；上板 x=L 電位為 3 伏特，V(L)=3。代入後得 C₂=0、C₁=3/L，通解因此被唯一決定。
- 三、電位函數：V(x)=3x/L（伏特），0≤x≤L。電位隨 x 線性遞增，等位面（equipotential surface）為 x=常數的平面，與兩板平行；相鄰等位面間距相等，顯示板間電場均勻。
- 四、電場強度：E=−∇V=−(dV/dx)x̂=−(3/L)x̂（V/m）。大小為 3/L、方向指向 −x（由高電位板指向接地板），與平行板公式 E=V/d 一致；L 以公尺計，故單位為伏特／公尺。
- 五、驗證與延伸：此場滿足 ∇·E=0 與 ∇×E=0，符合無源靜電場的要求。由 σ=εE 可求得板面電荷密度，進而推得電容 C=εA/L；若 L 不再遠小於板尺寸，則須解二維或三維 Laplace 方程並計入邊緣效應。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。