民國115年 高考三級 電信工程 電磁學
第2題
設一螺線環之內半徑和外半徑於XY 上平面分別為c 及d ，截面為長方 形，其高度為L，若纏繞之導線匣數為N ，所通之電流為I 。 求管子內半徑為r 時的磁場。（…
題目
設一螺線環之內半徑和外半徑於XY 上平面分別為c 及d ，截面為長方 形，其高度為L，若纏繞之導線匣數為N ，所通之電流為I 。 求管子內半徑為r 時的磁場。（10 分） 求管子內的磁通量。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、對稱性與安培定律：螺線環（toroid）是 N 匝導線繞在環形鐵芯上，電流 I 均勻分布。由環的軸對稱性可知，磁場只有圓周分量 H_φ，且只隨半徑 r 變化；因此可取以環軸為中心、半徑 r 的圓形安培迴路（Ampere's law）。
- 二、管內磁場：當 c<r<d 時，迴路穿過全部 N 匝，∮H·dl=H_φ(2πr)=NI，故 H_φ=NI/(2πr)（A/m），B_φ=μNI/(2πr)（T）。若為空氣芯，μ=μ₀=4π×10⁻⁷ H/m；若為鐵芯，則代入其磁導率。
- 三、管外磁場：r<c 時迴路未包圍任何電流；r>d 時進出電流互相抵銷，淨電流為零，故 H=0（理想螺線環）。實際元件因繞線具有螺旋性，會有少量漏磁。
- 四、磁通量：截面為長方形、高 L、徑向由 c 至 d，取面積元素 dA=L dr，方向沿 φ̂，則 Φ=∫B·dA=(μNI L/2π)∫_c^d(1/r)dr=(μNI L/2π)ln(d/c)（Wb）。
- 五、討論：B 與 r 成反比，內側磁場較強；磁通量與 ln(d/c) 成正比，故環愈厚通量愈大但邊際效益遞減。由 Φ 可得自感 L_self=NΦ/I=μN²L ln(d/c)/(2π)。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。