民國115年 高考三級 電信工程 電磁學
第4題
在笛卡兒座標系中，假設電磁場在真空的電場強度為 ( , ) cos(2 ) ˆ E x t yA ft kx ，其中峰值A、頻率f 、角波數݇均為定值。 證明此…
題目
在笛卡兒座標系中，假設電磁場在真空的電場強度為 ( , ) cos(2 ) ˆ E x t yA ft kx ，其中峰值A、頻率f 、角波數݇均為定值。 證明此電場為波方程式之解。（15 分） 求該電磁場的平均坡印亭向量（Poynting vector）。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、波動方程式：在真空無源區（ρ=0、J=0），電場滿足 ∇²E=(1/c²)∂²E/∂t²，其中 c=1/√(μ₀ε₀)≈3×10⁸ m/s。題目給定 E(x,t)=ŷA cos(ωt−kx)，且 ω=2πf。
- 二、代入驗證：∂²E/∂x²=−k²E，∂²E/∂t²=−ω²E，代回波動方程式得 −k²E=−(ω²/c²)E，故只需 k²=ω²/c²，即 k=ω/c=2πf/c（色散關係）即可成立；此時波速 ω/k=c，E 確為波動方程之解。
- 三、橫向性與散度：E 僅有 y 分量且與 y 無關，∇·E=∂E_y/∂y=0，符合無源條件 ∇·E=0；E 垂直於傳播方向 x̂，屬於橫電磁波（TEM）均勻平面波，等相位面為 x=常數的平面。
- 四、相伴磁場：由法拉第定律 ∇×E=−∂B/∂t 積分可得 H=(1/η₀)x̂×E=ẑ(A/η₀)cos(ωt−kx)，其中 η₀=√(μ₀/ε₀)≈377 Ω；E、H 與波前進方向 k 兩兩垂直並構成右手系。
- 五、平均坡印亭向量：瞬時坡印亭向量 S=E×H=x̂(A²/η₀)cos²(ωt−kx)，對時間取平均（cos² 的平均值為 1/2）得 S_avg=(A²/2η₀)x̂≈(A²/754)x̂（W/m²），方向為 +x，即能量沿 +x 傳播，與波前進方向一致。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。