某一學生用一台望遠鏡觀測某顆恆星，得其星等為ݔ，誤差為ߪ௫。另一學生 用另一台望遠鏡同時觀測同一顆星，得其星等為ݕ，誤差為ߪ௬，且ߪ௫≠ߪ௬， 現在想求這二次觀…

題目

某一學生用一台望遠鏡觀測某顆恆星，得其星等為ݔ，誤差為ߪ௫。另一學生 用另一台望遠鏡同時觀測同一顆星，得其星等為ݕ，誤差為ߪ௬，且ߪ௫≠ߪ௬， 現在想求這二次觀測的平均星等與星等差，算式如下： ൝ݑ= ݔ+ ݕ ݒ= ݔ−ݕ 其中ݑ為平均星等，ݒ為星等差，請問： ݑ, ݒ的誤差各為何？（8 分） 請用數學證明ݑ與ݒ並不獨立，並計算他們之間的相關係數（correlation coefficient）。（10 分） 以上述方法計算星等平均值為等權重平均法，事實上，利用權重平均法 ݑ= ݓ௫ݔ+ ݓ௬ݕ，其中ݓ௫+ ݓ௬= 1，可以降低ݑ值的誤差，請證明如果 ݓ௫= ߪ௫ ଶ ߪ௫ ଶ+ 1 ߪ௬ ଶ , ݓ௬= ߪ௬ ଶ ߪ௫ ଶ+ 1 ߪ௬ ଶ ݑ的誤差值為最小。且此最小的誤差值為何？（12 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、誤差傳播：設 x、y 為獨立觀測，u=x+y、v=x−y 皆為線性組合，故 σ_u²=(∂u/∂x)²σ_x²+(∂u/∂y)²σ_y²=σ_x²+σ_y²，即 σ_u=√(σ_x²+σ_y²)；同理 σ_v=√(σ_x²+σ_y²)。因此平均星等與星等差的誤差相同，與 σ_x、σ_y 的相對大小無關。
• 二、相關係數：Cov(u,v)=σ_x²−σ_y²（交叉項相消），故 ρ=Cov(u,v)/(σ_uσ_v)=(σ_x²−σ_y²)/(σ_x²+σ_y²)。因 σ_x≠σ_y，ρ≠0 且 |ρ|<1；σ_x>σ_y 時 ρ>0，反之 ρ<0。
• 三、證明不獨立：若 u、v 獨立，必須 Cov(u,v)=0，即 σ_x=σ_y，與題設矛盾。幾何上 (u,v) 為 (x,y) 旋轉45度之線性變換，聯合機率分布為斜橢圓而非軸對稱，無法分解為 f(u)g(v)，故 u、v 不獨立；此即平均星等與星等差在統計上相關。
• 四、加權平均之最小化：令 σ_u²=w_x²σ_x²+w_y²σ_y²，約束 w_x+w_y=1。取拉格朗日函數 L=w_x²σ_x²+w_y²σ_y²−λ(w_x+w_y−1)，由 ∂L/∂w_x=2w_xσ_x²−λ=0 得 w_x∝1/σ_x²，故 w_x=(1/σ_x²)/(1/σ_x²+1/σ_y²)、w_y=(1/σ_y²)/(1/σ_x²+1/σ_y²)，二階條件亦確認其為極小。
• 五、最小誤差：代回得 σ_u²=σ_x²σ_y²/(σ_x²+σ_y²)，即 σ_u=σ_xσ_y/√(σ_x²+σ_y²)，恆小於等權重之 √((σ_x²+σ_y²)/2)。註：題目印刷之權重式疑為排版缺漏，應理解為上述 1/σ² 形式；推導假設兩次觀測獨立且無共同系統誤差，若含共同系統誤差須另加相關項。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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