民國115年 高考三級 天文 天文觀測考古題
民國115年 高考三級 天文 天文觀測收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
請對不同口徑的可見光望遠鏡與不同解析度的可見光光譜儀加以評論：
請評論大口徑望遠鏡（如口徑8 米以上）與小口徑遠鏡（如口徑3 米
以下）之優缺點與適用的科學研究。（16 分）
對於可見光光譜儀，原則上高解析度光譜儀（解析度：λ⁄Δλ>10,000）
能看到光譜的細節，應是光譜觀測的首選，但事實上仍有許多低解析
度（λ⁄Δλ=100-1,000）的光譜儀在使用，請評論高低解析度光譜儀之
優缺點及適用的科學研究。（14 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、集光力與角解析力：望遠鏡的集光面積與口徑的平方成正比，8米鏡的集光面積約為3米鏡的7倍，觀測暗弱天體時可縮短曝光時間，或提高訊噪比（S/N）；繞射極限 θ≈1.22λ/D，8米鏡在500 nm約0.013角秒，3米鏡約0.035角秒。大口徑適合高色散光譜、高空間解析與快速光度變化觀測，但造價、鏡面重力與熱變形、觀測時間競爭都是代價。
- 二、小口徑的優勢與限制：3米以下望遠鏡建置與維護成本低、可複製多台、視場較大、指向與追蹤容易，適合巡天、長期監測與學生訓練；限制在於集光力與解析力不足，難以達到高訊噪比的高解析光譜，也不易觀測高紅移或極暗天體。
- 三、大口徑適用科學：高紅移星系與重力透鏡、系外行星大氣透射光譜、恆星形成區細部結構、活動星系核短時變，以及需要高色散之恆星豐度與磁場（Zeeman分裂）測量；配合自適應光學（adaptive optics）與光纖多天體光譜儀，可充分發揮其優勢。
- 四、小口徑適用科學：變星與食雙星測光、超新星與近地天體搜尋、系外行星凌星巡天、測光標準星與儀器校正，以及需要大視場或高時間取樣之監測；小望遠鏡視場均勻、系統誤差容易控制，也常作為大型計畫的先期觀測與後續追蹤。
- 五、高解析度光譜儀（R=λ/Δλ>10,000）：優點是可分辨都卜勒位移與譜線輪廓，測定精細徑向速度、元素豐度、同位素比、磁場與大氣動力學；缺點是狹縫與高色散造成嚴重通量損失，須搭配大口徑望遠鏡，且對導星、儀器穩定度與資料處理要求高。
- 六、低解析度光譜儀（R=100–1,000）：優點是通量大、可觀測暗弱天體、一次涵蓋寬波段，適合天體分類、紅移測定、光度定標、大樣本巡天與快速篩選；缺點是譜線混合（blending）、難以測量微小速度位移與弱窄線。實務上先以低解析度篩選、再以高解析度精測，兩者互補而非取代。
太空望遠鏡的軌道通常分為：低軌低離心率軌道（如哈伯望遠鏡：軌道
高度約560 公里，離心率：0.00013）、高軌高離心率軌道（如錢德拉X
光望遠鏡：軌道半長軸約8 萬1 千公里，離心率：0.74）與放置在地球
太陽之第二拉格朗日點（L2，如詹姆斯·韋伯太空望遠鏡，距地球約150
萬公里）。請評論這三個太空望遠鏡放置地點的優劣性。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、低軌低離心率軌道（哈伯，約560公里，e=0.00013）：優點是距地近、通訊頻寬大，可由太空梭或服務任務維修並更換儀器，發射成本較低；缺點是地球遮蔽約半個天空、地球反照與大氣輝光（airglow）提高背景、約90分鐘一次熱循環、軌道衰減須定期抬升，且無法對同一天體連續長曝光。
- 二、高軌高離心率軌道（錢德拉，半長軸約8萬1千公里，e=0.74）：優點是遠地點停留時間長，可連續觀測數十小時，遠離地球輻射帶與地球遮蔽，熱環境較穩定；缺點是近地點穿越輻射帶（南大西洋異常區）時須關閉儀器、發射能量需求大、距離與觀測幾何變化使通訊與熱控複雜，且無法維修。
- 三、地球－太陽第二拉格朗日點（L2，距地約150萬公里）：優點是永遠位於地球背陽側，可同時遮蔽太陽、地球與月球，被動冷卻可低於50 K，無地球遮蔽與大氣干擾，極適合紅外與中紅外觀測；缺點是距離遙遠、無法維修、通訊延遲數秒，須以光暈軌道（halo orbit）定期維持，太陽風與微流星撞擊風險高，單一故障即可能終止任務。
- 四、比較與選擇原則：低軌適合需要維修、短波段、高資料率的任務；高橢圓軌適合需要長連續觀測的X光任務；L2適合要求低溫、低背景的紅外任務。選擇時須權衡波段、冷卻需求、成本、壽命、通訊與風險，並以軌道維持與備援設計降低失效風險。
某一學生用一台望遠鏡觀測某顆恆星，得其星等為ݔ，誤差為ߪ௫。另一學生
用另一台望遠鏡同時觀測同一顆星，得其星等為ݕ，誤差為ߪ௬，且ߪ௫≠ߪ௬，
現在想求這二次觀測的平均星等與星等差，算式如下：
൝ݑ= ݔ+ ݕ
ݒ= ݔ−ݕ
其中ݑ為平均星等，ݒ為星等差，請問：
ݑ, ݒ的誤差各為何？（8 分）
請用數學證明ݑ與ݒ並不獨立，並計算他們之間的相關係數（correlation
coefficient）。（10 分）
以上述方法計算星等平均值為等權重平均法，事實上，利用權重平均法
ݑ= ݓ௫ݔ+ ݓ௬ݕ，其中ݓ௫+ ݓ௬= 1，可以降低ݑ值的誤差，請證明如果
ݓ௫=
ߪ௫
ଶ
ߪ௫
ଶ+ 1
ߪ௬
ଶ
, ݓ௬=
ߪ௬
ଶ
ߪ௫
ଶ+ 1
ߪ௬
ଶ
ݑ的誤差值為最小。且此最小的誤差值為何？（12 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、誤差傳播：設 x、y 為獨立觀測，u=x+y、v=x−y 皆為線性組合，故 σ_u²=(∂u/∂x)²σ_x²+(∂u/∂y)²σ_y²=σ_x²+σ_y²，即 σ_u=√(σ_x²+σ_y²)；同理 σ_v=√(σ_x²+σ_y²)。因此平均星等與星等差的誤差相同，與 σ_x、σ_y 的相對大小無關。
- 二、相關係數：Cov(u,v)=σ_x²−σ_y²（交叉項相消），故 ρ=Cov(u,v)/(σ_uσ_v)=(σ_x²−σ_y²)/(σ_x²+σ_y²)。因 σ_x≠σ_y，ρ≠0 且 |ρ|<1；σ_x>σ_y 時 ρ>0，反之 ρ<0。
- 三、證明不獨立：若 u、v 獨立，必須 Cov(u,v)=0，即 σ_x=σ_y，與題設矛盾。幾何上 (u,v) 為 (x,y) 旋轉45度之線性變換，聯合機率分布為斜橢圓而非軸對稱，無法分解為 f(u)g(v)，故 u、v 不獨立；此即平均星等與星等差在統計上相關。
- 四、加權平均之最小化：令 σ_u²=w_x²σ_x²+w_y²σ_y²，約束 w_x+w_y=1。取拉格朗日函數 L=w_x²σ_x²+w_y²σ_y²−λ(w_x+w_y−1)，由 ∂L/∂w_x=2w_xσ_x²−λ=0 得 w_x∝1/σ_x²，故 w_x=(1/σ_x²)/(1/σ_x²+1/σ_y²)、w_y=(1/σ_y²)/(1/σ_x²+1/σ_y²)，二階條件亦確認其為極小。
- 五、最小誤差：代回得 σ_u²=σ_x²σ_y²/(σ_x²+σ_y²)，即 σ_u=σ_xσ_y/√(σ_x²+σ_y²)，恆小於等權重之 √((σ_x²+σ_y²)/2)。註：題目印刷之權重式疑為排版缺漏，應理解為上述 1/σ² 形式；推導假設兩次觀測獨立且無共同系統誤差，若含共同系統誤差須另加相關項。
氫是星際介質中含量最多的元素，基本上有三種型態：⑴離子氫（H+或
HII）；⑵原子氫（H 或HI）；⑶分子氫（H2）
離子氫通常是存在於氫離子區（HII region），天文學家通常是在可見
光波段觀察Hఈ譜線（即氫原子主量子數n=3 n=2），請問為何觀察游
離態的氫要用到氫原子躍遷所發出的譜線？（5 分）
天文學家通常觀測氫原子是利用某一特定譜線的輻射，請問這個輻射
的名稱為何？其輻射機制為何？（5 分）
在溫度很低（約10 度K 左右）的分子雲中，天文學家通常利用分子
轉動動能之能階躍遷所發射或吸收譜線來觀測，但這個方法卻無法觀
測冷氫分子的輻射，其困難在那裡？請問天文學家目前是用什麼方法
得知一個分子雲中氫分子的含量？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、為何用氫原子譜線觀測游離氫：游離態氫（H⁺）沒有束縛電子，不產生束縛－束縛躍遷譜線，只能發出自由－自由（free-free）連續輻射；氫離子區的游離光子由年輕O、B型星提供，電子被復合（recombination）後沿能階下降，產生 Balmer 系，其中 Hα（n=3→2，6563 Å）最強，故以復合譜線示蹤游離區。
- 二、HI 的觀測譜線：21公分（1420.4 MHz）超精細結構譜線，源自電子與質子自旋由平行轉為反平行之自發躍遷，躍遷率 A≈2.85×10⁻¹⁵ s⁻¹（壽命約1.1×10⁷年）；雖然躍遷機率極低，但星際氫柱密度極大仍可觀測，並可由都卜勒位移測定速度場與旋臂結構。
- 三、H₂ 觀測的困難：同核雙原子分子無永久電偶極矩，轉動躍遷屬電四極矩躍遷，機率極低；且 J=0 為基態，第一轉動能階約相當1700 K，在約10 K的分子雲中幾乎不被激發；電子吸收帶位於紫外，被塵埃嚴重消光，因此直接觀測氫分子十分困難。
- 四、目前的方法：以 CO（J=1→0，115 GHz）為主要示蹤劑，配合轉換因子 X_CO≈2×10²⁰ cm⁻²(K·km/s)⁻¹，由 CO 亮度推估 H₂ 柱密度；並輔以塵埃連續輻射、塵埃消光與紅外熱輻射、以及紫外吸收線（H₂ 電子躍遷）交叉檢驗。
- 五、限制與提醒：X_CO 隨金屬丰度、雲的物理狀態與輻射場而變，低金屬丰度環境須另行校正，故所得為統計推估而非直接計數；答題時應說明假設與不確定度，並指出多波段交叉驗證的必要性。