ඥݔଶ(ݐ) + ݕଶ(ݐ) ൬ݔ(ݐ) ݕ(ݐ)൰ 求出ݒ(ݐ)的極限當t 趨近∞。（10 分） 求不定積分∫ඥ1 + ݕଶ݀ݕ。（15 分） 設曲線L =…

題目

ඥݔଶ(ݐ) + ݕଶ(ݐ) ൬ݔ(ݐ) ݕ(ݐ)൰ 求出ݒ(ݐ)的極限當t 趨近∞。（10 分） 求不定積分∫ඥ1 + ݕଶ݀ݕ。（15 分） 設曲線L = {(x, sin x) : x ∈[0, π/ 2]}，請求出L 繞x 軸一圈所產生的曲 面的面積。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、小題(1) v(t) 之極限（10 分）：由第 1 題的通解可知，e^{−t} 與 e^{−3t} 均隨 t → ∞ 衰減至零，故 x(t) → 1、y(t) → −1。若 v(t) = √(x²(t) + y²(t)) 表示狀態點到原點的距離，則 lim_{t→∞} v(t) = √(1² + (−1)²) = √2 ≈ 1.414。
• 二、收斂速率與補充說明：收斂的快慢由較慢的模態 λ₁ = −1 主導，誤差量級為 O(e^{−t})。若題意將 v(t) 定義為向量 √(x² + y²)(x, y)^T，則其極限為 √2(1, −1)^T。因極限存在且有限，可直接將 t → ∞ 代入通解，利用極限運算的連續性，不須先做積分。
• 三、小題(2) 不定積分 ∫√(1 + y²)dy（15 分）：令 y = sinh u，則 dy = cosh u du 且 √(1 + y²) = cosh u，原式化為 ∫cosh²u du = (1/2)(u + sinh u·cosh u) + C。回代後得 (1/2)[arsinh y + y√(1 + y²)] + C，其中 arsinh 為反雙曲正弦。
• 四、對數形式與交叉驗證：因 arsinh y = ln(y + √(1 + y²))，故結果可寫成 (1/2)[y√(1 + y²) + ln(y + √(1 + y²))] + C。亦可改用分部積分：取 u = √(1 + y²)、dv = dy，將 ∫y²/√(1 + y²)dy 移項求解，兩法結果一致；將答案微分回驗即可還原被積函數，這是作答時應附的檢驗步驟。
• 五、小題(3) 旋轉曲面面積（10 分）：曲線 L: y = sin x（0 ≤ x ≤ π/2）繞 x 軸旋轉，表面積為 S = 2π∫₀^{π/2} sin x·√(1 + cos²x) dx。令 u = cos x，則 du = −sin x dx，積分上下限由 x: 0 → π/2 改為 u: 1 → 0，故 S = 2π∫₀¹√(1 + u²)du。
• 六、數值結果：套用小題(2) 所得的原函數，S = 2π·(1/2)[u√(1 + u²) + ln(u + √(1 + u²))]₀¹ = π[√2 + ln(1 + √2)] ≈ π(1.4142 + 0.8814) ≈ 7.212。此即迴轉面（surface of revolution）之面積，單位為平方單位；作答時應同時寫出公式、代換與化簡過程。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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