設向量場F⃗= (x, y)及由橢圓C = {(x, y)： x + y2 = 1}所圍成的封閉區域 D。請驗證散度定理（Divergence theorem）…

題目

設向量場F⃗= (x, y)及由橢圓C = {(x, y)： x + y2 = 1}所圍成的封閉區域 D。請驗證散度定理（Divergence theorem）：（25 分） div D C FdA F nds

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、定理內容：散度定理（Divergence theorem）指出，對平面區域 D 及其邊界曲線 C，∬_D div F dA = ∮_C F·n ds，其中 n 為 C 上的單位外法向量、s 為弧長參數。本題 F(x, y) = (x, y)，故 div F = ∂x/∂x + ∂y/∂y = 1 + 1 = 2，為一常數場。
• 二、左側面積分：∬_D 2 dA = 2·Area(D)。設橢圓為 x²/a² + y²/b² = 1，其面積為 πab，故左式 = 2πab。題面方程式之排版毀損，若實為單位圓（a = b = 1）則得 2π；若為 x²/4 + y² = 1（a = 2、b = 1）則得 4π；考生宜先寫出通式再代入。
• 三、外法向量與弧長元素：令 C: r(t) = (a cos t, b sin t)，0 ≤ t ≤ 2π。切向量 r′(t) = (−a sin t, b cos t)，弧長元素 ds = |r′|dt = √(a²sin²t + b²cos²t)dt；單位外法向量為 n = (b cos t, a sin t)/√(b²cos²t + a²sin²t)，方向由區域指向外部。
• 四、線積分計算：F·n = (ab cos²t + ab sin²t)/√(b²cos²t + a²sin²t) = ab/√(b²cos²t + a²sin²t)。乘上 ds 後分母恰好相消，得 F·n ds = ab dt，故 ∮_C F·n ds = ∫₀^{2π} ab dt = 2πab。此步驟是本题的關鍵，宜明確寫出「分母相消」。
• 五、結論與幾何意義：左右兩式同為 2πab，散度定理得證。其意義為「區域內各點通量密度（散度）的總和，等於邊界上的淨流出量」；因 div F = 2 為常數，總通量恰為區域面積的兩倍。本式亦為 Green 定理 ∮(P dy − Q dx) = ∬(P_x + Q_y)dA 取 P = x、Q = y 之特例；作答時應註明曲線取逆時針（正向）並寫出參數化、法向量、ds 三要素。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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