民國112年 地方四等 土木工程 靜力學概要與材料力學概要
第1題
如圖之截面，求此截面對x軸、y 軸之面積慣性矩 xI 、 yI ，及面積慣性積 xy I 。（25 分）
題目
如圖之截面，求此截面對x軸、y 軸之面積慣性矩 xI 、 yI ，及面積慣性積 xy I 。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、解題架構：本題採「分割法」配合平行軸定理（parallel-axis theorem）。將斷面切成互不重疊的矩形，先算各矩形對自身形心軸的面積慣性矩（矩形 Īx=bh³/12、Īy=hb³/12、Īxy=0），再疊加：Ix=Σ(Īx+A·dy²)、Iy=Σ(Īy+A·dx²)、Ixy=Σ(Īxy+A·dx·dy)，其中 dx、dy 為各矩形形心至整體形心軸的距離，單位均為 mm⁴。
- 二、幾何判讀與分割：依題示水平尺寸 90+90+90（總寬 270 mm）與垂直尺寸 40+80+40（總高 160 mm），斷面可視為十字形，形心即 x、y 軸交點。分割為中央垂直矩形 90×160（A=14,400 mm²，形心在原點），以及左右水平矩形各 90×80（A=7,200 mm²，形心分別位於 x=−90 與 x=+90，y=0）。
- 三、對 x 軸之面積慣性矩：中央矩形 Ix=90×160³/12=3.072×10⁷ mm⁴；兩側矩形 Ix=90×80³/12=3.84×10⁶ mm⁴，因形心落在 x 軸上，dy=0，移軸項為零。故 Ix=3.072×10⁷+2×3.84×10⁶=3.84×10⁷ mm⁴。
- 四、對 y 軸之面積慣性矩：中央矩形 Iy=160×90³/12=9.72×10⁶ mm⁴；兩側矩形 Īy=80×90³/12=4.86×10⁶ mm⁴，加移軸項 A·dx²=7,200×90²=5.832×10⁷ mm⁴，各得 6.318×10⁷ mm⁴。故 Iy=9.72×10⁶+2×6.318×10⁷=1.3608×10⁸ mm⁴。
- 五、面積慣性積與檢核：斷面同時對 x、y 軸對稱，乘積項正負相消，故 Ixy=0。提醒：Ixy=0 僅在該兩軸均為對稱軸時成立；若坐標軸平移或旋轉，須以 Ixy=Īx̄ȳ+A·dx·dy 及旋轉公式重算。若現圖輪廓實為工字形（翼板 270×40、腹板 90×80），改以扣除法得 Ix=8.448×10⁷ mm⁴、Iy 同為 1.3608×10⁸ mm⁴、Ixy=0，作答前應先依圖確認輪廓。
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