民國112年 地方四等 土木工程 靜力學概要與材料力學概要
第4題
如圖示之托架，力量 70 N F ， 30 N F 分別作用於B，D 兩點，求此 力系之合力向量 R F ，及對O 點之合力矩向量 RO M 。（25 分） 4…
題目
如圖示之托架，力量 70 N F ， 30 N F 分別作用於B，D 兩點，求此 力系之合力向量 R F ，及對O 點之合力矩向量 RO M 。（25 分） 400 mm 300 mm 300 mm A B C D E x y z 1F F O A B C D E 1L L a b 1P 2P 1A A 剛體
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、座標系建立：以 O 為原點，依圖示 x、y、z 三軸與 400 mm、300 mm、300 mm 尺寸，定出 A、B、C、D、E 各點位置向量 r=xi+yj+zk（建議換算為 m）。托架屬三維力系，須以向量法處理，不可僅用平面靜力學。
- 二、力向量表示：將 70 N 與 30 N 依圖示方向（方向角或 3-4-5 比例）分解為卡氏分量 F=Fxi+Fyj+Fzk；若給的是兩點連線方向，取單位向量 u=AB/|AB| 再乘大小，即 F=F·u，並注意指向（正負號）。
- 三、合力向量：R=F1+F2=(ΣFx)i+(ΣFy)j+(ΣFz)k；大小 |R|=√(Rx²+Ry²+Rz²)，方向餘弦 cosα=Rx/|R|、cosβ=Ry/|R|、cosγ=Rz/|R|，用以標示合力在空間中的方位。
- 四、對 O 點之合力矩：M_RO=Σ(r×F)=r_B×F1+r_D×F2，以行列式展開 M=(yFz−zFy)i+(zFx−xFz)j+(xFy−yFx)k，逐項代入後相加，再求 |M| 與方向（右手定則）。若另需求合力作用線，可用 r×R=M_RO 求取點。
- 五、資料限制與作答提醒：合力與力矩數值完全取決於各作用點座標與力之方向；題附圖之幾何標註未能完整取得，故僅能列出上述公式與計算流程，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考試作答應先畫座標與位置向量、統一單位，並檢查正負號與右手定則。
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