民國112年 普通考試 經建行政 統計學概要
第1題
令Φ(ݖ)為標準常態累積分配函數，Φ(-2)=0.0228。計算回答下列各子題： （每小題10分，共30分） 假設ܺଵ和ܺଶ是互相獨立的常態隨機變數，其分配分別…
題目
令Φ(ݖ)為標準常態累積分配函數，Φ(-2)=0.0228。計算回答下列各子題： （每小題10分，共30分） 假設ܺଵ和ܺଶ是互相獨立的常態隨機變數，其分配分別為 (12,4 ) N 和 (2,3 ) N 。計算ܲ(ܺଵ> ܺଶ)和ܲ(ܺଵ+ ܺଶ>26)。 陳述中央極限定理（Central Limit Theorem）。（詳實敘明所需要的假設） 令 Y i ܺ，ܺ為服從齊一分配（uniform distribution）ܷ(0, 4)的隨機 樣本， 1, , 48 i 。利用 所述定理，計算 (80 Y 112) P 之近似機 率。（需計算列出ܺ的平均數與變異數）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分配設定與第一小題：依 N(μ,σ²) 記法，X₁～N(12,4)、X₂～N(2,3)，即平均數為 12、2，變異數為 4、3，且兩者獨立。令 D=X₁−X₂，則 D～N(10,7)。故 P(X₁>X₂)=P(D>0)=P(Z>−10/√7)=1−Φ(−3.7796)≈0.9999。
- 二、第二個機率：令 S=X₁+X₂，由獨立常態分配的可加性，S～N(14,7)，標準差為 √7。P(S>26)=P(Z>(26−14)/√7)=P(Z>4.5356)=1−Φ(4.5356)≈2.9×10⁻⁶，約為百萬分之三；此結果顯示兩變數同時偏大的機率極低。
- 三、中央極限定理之陳述：設 X₁,…,X_n 為獨立且服從同一分配之隨機變數，具有有限平均數 μ 與有限正變異數 σ²；則當 n 趨大時，標準化樣本平均數 (X̄−μ)/(σ/√n) 之分配趨近標準常態 N(0,1)，亦即樣本平均數近似 N(μ,σ²/n)，樣本和近似 N(nμ,nσ²)。
- 四、所需假設與推廣：核心假設為獨立性、相同分配、有限變異數，以及 n 足夠大；若母體本身為常態，則不受 n 限制。若獨立但不同分配，須滿足 Lindeberg–Feller 條件；若為有限母體抽樣，則母體數須遠大於樣本數，或使用有限母體校正。
- 五、第三小題：X_i～U(0,4)，故 μ=(0+4)/2=2，σ²=(4−0)²/12=16/12=4/3。令 Y=ΣX_i，n=48，則 E(Y)=48×2=96，Var(Y)=48×4/3=64，標準差為 8。故 P(80<Y<112)≈P(−2<Z<2)=1−2Φ(−2)=1−2(0.0228)=0.9544。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。