民國112年 普通考試 經建行政 統計學概要
第2題
一家液體洗滌劑製造商生產的洗滌劑標示宣稱每瓶容量為450毫升（mL）。 隨機抽取14瓶，測量其容量，資料列於下表： 447 459 439 443 462 44…
題目
一家液體洗滌劑製造商生產的洗滌劑標示宣稱每瓶容量為450毫升（mL）。 隨機抽取14瓶，測量其容量，資料列於下表： 447 459 439 443 462 449 437 458 453 461 445 467 456 448 數據的常態機率圖顯示可以假設內容量呈常態分配。μ表示該製造商生產 的所有洗滌劑瓶子的平均容量。要確定平均容量是否少於標示所宣稱的 容量，回答計算下列各子題： 敘明虛無假設與對立假設。（5分） 在顯著水準α=0.05下，依據 所敘明的假設執行統計檢定，含棄卻域和 結論。（15分） 如果常態分配假設不成立，但是資料的分配仍具有對稱分配時，可採用 何種無母數統計檢定？（5分） 在顯著水準α=0.05下，依 之統計檢定對此資料進行分析檢定。（13分） 0.05,14 0.05,13 0.05,12 0.05 0.025 0.05,14 0.95,14 ( 1.761 1.771 1.782 1.645 1.960 79 ) t t t z z w w ， ， ， ， ， ， 。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設設定：令 μ 為全體瓶子之平均容量。題目欲檢定平均容量是否少於標示 450 mL，故 H₀：μ≥450（邊界值 μ=450），H₁：μ<450。採單尾檢定，顯著水準 α=0.05；母體常態且母體變異數未知，使用 t 檢定，自由度為 n−1=13。
- 二、樣本統計量：n=14，Σx=6324，x̄=451.714；樣本變異數 s²=Σ(x−x̄)²/(n−1)=1080.857/13=83.143，s=9.118。檢定統計量 t=(x̄−450)/(s/√14)=1.714/(9.118/3.742)=0.703。
- 三、棄卻域與結論：α=0.05、df=13 之單尾左尾臨界值為 −t₀.₀₅,₁₃=−1.771，棄卻域為 t<−1.771。因 0.703 未落入棄卻域（p 值約 0.247>0.05），不棄卻 H₀，資料不足以證明平均容量少於 450 mL；樣本平均反而略高於標示值。
- 四、無母數檢定之選擇：若常態假設不成立但分配仍對稱，可採 Wilcoxon 符號等級檢定（Wilcoxon signed-rank test），以中位數（在對稱下等於平均數）為檢定對象；其虛無假設為 H₀：M=450，對立假設 H₁：M<450，並以差值絕對值排序、保留正負號計算等級和。
- 五、Wilcoxon 檢定計算：差值 d=x−450 為 −3,9,−11,−7,12,−1,−13,8,3,11,−5,17,6,−2，無零值，同分取平均等級。正等級和 W⁺=63，負等級和 W⁻=42。n=14、α=0.05 單尾下臨界值為 26（上臨界值 79）；因 W⁺=63>26，不棄卻 H₀，結論與 t 檢定一致。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。