數學規劃（Mathematical Programming）係指透過建立數學模型，系統性 分析決策變數之最佳組合，以達成特定目標函數最大化或最小化之方 法。其中…

題目

數學規劃（Mathematical Programming）係指透過建立數學模型，系統性 分析決策變數之最佳組合，以達成特定目標函數最大化或最小化之方 法。其中，「線性規劃（Linear Programming）」專注於處理線性最佳化問 題，強調在資源有限條件下，進行最有效率之資源配置與運用，以達成 整體效益最大化。 某地方環保機關清潔隊因人力資源有限，為確保各項專案任務能於預定 期限內完成，須評估部分專案採行委外辦理之可行性，並進行整體執行 規劃。該清潔隊評估各專案採自行執行或委外執行（委外獎勵金已扣除 相關委外成本）時，皆可獲得相應之淨獎勵金（Net Reward），其各專案 之淨獎勵金及所需人力工時如下表所示。目前清潔隊自行執行專案時， 可支配之總人力工時為4,800 小時，且各專案須採整體決策方式辦理， 不得拆分執行，亦即每一專案僅能選擇由清潔隊完全自行執行或完全委 外辦理，不得部分自行執行、部分委外。 請以線性規劃之數學模式（Formulation），說明該清潔隊應如何規劃各專 案之執行決策，以使該清潔隊整體獎勵收益達到最大化（僅需說明計算 方式，無需實際求解）。（25 分） 專案 A B C D E 自行執行 淨獎勵金 30,000 10,000 26,000 18,000 20,000 委外執行 淨獎勵金 6,000 2,000 8,000 9,000 4,000 人力工時 需求（小時） 1,300 1,000 1,400 1,600

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、模式設定：設專案 i＝A、B、C、D、E，決策變數 x_i 為 0-1 變數，x_i＝1 表由清潔隊自行執行、x_i＝0 表委外辦理。因專案不得拆分，屬二元整數規劃（binary integer programming），為線性規劃之特例。自行執行淨獎勵金 S_i＝（30,000、10,000、26,000、18,000、20,000）元，委外淨獎勵金 O_i＝（6,000、2,000、8,000、9,000、4,000）元，人力工時需求 h_i＝（1,300、1,000、1,400、1,600、h_E）小時。
• 二、目標函數：Max Z＝Σ_i [x_i·S_i＋(1－x_i)·O_i]＝Σ_i O_i＋Σ_i x_i·(S_i－O_i)。因 ΣO_i＝29,000 元為常數，不影響最適解，可化簡為 Max Z'＝Σ_i x_i·(S_i－O_i)，其中 (S_i－O_i) 即自行執行相對於委外之增量收益，具機會成本意涵，分別為 24,000、8,000、18,000、9,000、16,000 元。
• 三、限制式與變數範圍：人力工時限制為 Σ_i x_i·h_i ≤ 4,800；x_i ∈ {0, 1}，∀i。模式隱含假設包括：委外辦理不佔用清潔隊自有工時、各專案淨獎勵金與工時需求為已知確定值、專案間無相互依存或排他關係、各專案獎勵金可加總且無規模經濟效果。
• 四、求解方式：因僅 5 個專案，可列舉 2^5＝32 種組合，逐一檢查自行執行工時合計是否超過 4,800 小時，再就可行組合比較 Z 值取最大者；亦可採分支界限法（branch and bound）、Excel Solver 或 Python（PuLP）求解。若將 x_i 放寬為 0 ≤ x_i ≤ 1 之線性規劃鬆弛（LP relaxation），可能出現非整數解，須再以整數規劃求解，不可直接四捨五入。
• 五、資料缺漏與延伸：題目未提供專案 E 之人力工時需求，h_E 僅能以參數符號表示，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，須先補足 E 之工時方能求得最適組合。另可延伸進行敏感度分析（工時上限變動對 Z 之影響，即影子價格 shadow price）、增列預算或人力上限之多重限制式，或改採多目標規劃以兼顧效率與公平。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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