統計課中一位成績接近底部的學生甲，決定投入一定的練習時數以改善 期末的成績。但是甲並不想做過多的練習，因為甲企圖以最少的工作量 達到最終畢業的目的。甲註冊一門統…

題目

統計課中一位成績接近底部的學生甲，決定投入一定的練習時數以改善 期末的成績。但是甲並不想做過多的練習，因為甲企圖以最少的工作量 達到最終畢業的目的。甲註冊一門統計課，離期末考僅有3 個星期，並 且最後學期總成績是以下列方式決定： 學期總成績＝20%（作業）＋30%（期中考）＋50%（期末考） 為了決定在剩餘的3 星期內要付出多少努力，甲必須根據作業分數（有 20 分）與期中考分數（有30 分）去預測期末考成績。甲的這些分數分 別是12/20 與14/30。 甲蒐集去年選修這門統計課30 位學生的期末考分數、作業分數 （assignment），與期中考分數（midterm）。 利用以下30 位學生的資料所做的迴歸分析結果回答問題： 決定估計的迴歸方程式並檢定模型的有效性（5%的顯著水準）。（4 分） 估計的標準誤為何？如何詮釋這個統計量？（4 分） 判定係數為何？這個統計量提供什麼訊息？（4 分） 詮釋估計的迴歸方程式中每一個係數。（4 分） 在此模型中，檢定作業分數之係數是否為零（5%的顯著水準）？（4 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、模型設定與估計式：以期末考分數 Y 為依變數，作業 A、期中考 M 為自變數，模型為 Y=β0+β1A+β2M+ε，n=30、k=2、自由度 n−k−1=27，估計式為 Ŷ=b0+b1A+b2M。惟題幹未附迴歸報表（係數、標準誤、SSR、SSE、SST、F 值），屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值，以下列出判讀步驟與判定規則。
• 二、模型有效性檢定：H0：β1=β2=0，H1：至少一者不為 0。F=(SSR/2)/(SSE/27)=(R²/2)/[(1−R²)/27]，拒絕域 F>F_0.05(2,27)=3.35。換算可得門檻 R²>6.7/33.7=0.1988，即判定係數須超過約 0.199，模型才顯著。
• 三、估計標準誤與判定係數：s_e=√(SSE/(n−k−1))=√(SSE/27)，單位與期末考分數相同，衡量樣本點偏離迴歸平面的平均幅度，數值越小配適越佳。R²=SSR/SST=1−SSE/SST，代表作業與期中考分數所能解釋之期末考分數變異的百分比，其餘歸諸其他因素。
• 四、係數詮釋與個別檢定：b1 表示期中考分數固定下，作業多 1 分對期末考平均分數的影響；b2 表示作業固定下，期中考多 1 分的效果。檢定 H0：β1=0，t=b1/s_b1，自由度 27，雙尾 α=0.05 之臨界值約 2.052，|t|>2.052 則拒絕，表示作業分數對期末考有顯著解釋力。
• 五、實務應用：將 A=12、M=14 代入估計式得預測期末考分數 Ŷ，學期總成績為 12+14+Ŷ（作業 20 分、期中考 30 分、期末考 50 分恰對應 20%、30%、50% 權重），再與及格門檻比較，即可決定所需練習時數。惟外推時應注意迴歸線僅在原資料範圍內可靠。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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