民國110年 普通考試 交通技術 統計學概要
第5題
有一位候選人在宣告參選之前，評估選民對他的初始支持率。不做任何 事前公開活動之前提下，若選民支持他的比例數p 大約0.15，他將投入 選戰。從隨機選取的n 個選…
題目
有一位候選人在宣告參選之前，評估選民對他的初始支持率。不做任何 事前公開活動之前提下，若選民支持他的比例數p 大約0.15，他將投入 選戰。從隨機選取的n 個選民的ㄧ項民調中，該候選人希望比例數p 的 估計值y/n 距離p 在0.03 之內。也就是說，決策乃基於形如y/n ± 0.03 的ㄧ個95%信賴區間，y 代表支持該候選人的選民人數： 在候選人對於p 的大小沒有任何概念下，如何決定所需樣本數大小， 以便達到所求之可靠度及準確度？（5 分） 假設由該選區隨機選取1,068 個選民進行訪談，得到y = 214 個選民的 支持，求p 的95%信賴區間。根據此樣本所提供的訊息，該候選人是 否決定投入選戰？（5 分） 比較 的最大誤差與0.03，說明為何會有如此差別？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、樣本數的決定：在對 p 無任何概念時，取 p=0.5 使 p(1−p) 最大（最保守），n=(z_0.025/E)²·p(1−p)=(1.96/0.03)²×0.25=4268.44×0.25=1067.1，無條件進位得 n=1068 人。
- 二、信賴區間：p̂=214/1068=0.2004，SE=√(0.2004×0.7996/1068)=√0.00015002=0.01225，最大誤差 1.96×0.01225=0.0240，故 95% 信賴區間為 0.2004±0.0240，即 (0.1764, 0.2244)。
- 三、決策判斷：候選人設定投入選戰的門檻為 p 約 0.15，而信賴區間下界 0.1764 已高於 0.15，顯示支持率顯著超過門檻，故應決定投入選戰。
- 四、最大誤差差異之解釋：實際最大誤差 0.024 小於規劃的 0.03，係因規劃時採 p=0.5 使變異數最大化，而實際 p̂≈0.20 對應 p(1−p)≈0.16，遠小於 0.25，標準誤隨之縮小，故實際精確度高於原先要求，屬保守設計的必然結果。
- 五、精進建議：若事前已知 p 約 0.15，則 n=(1.96/0.03)²×0.15×0.85=544.6，取 545 人即可，可節省約半數樣本；惟為避免低估，實務上常仍採保守值或加計無回應率。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。