民國114年 高考三級 教育行政 教育測驗與統計
第3題
某教育統計學者想利用家庭社經地位變項X1（分成高、中、低三個水準） 和家庭社會資本變項X2（為一連續變項），聯合起來預測學生的學業成 績變項Y（為一連續變項）。…
題目
某教育統計學者想利用家庭社經地位變項X1（分成高、中、低三個水準） 和家庭社會資本變項X2（為一連續變項），聯合起來預測學生的學業成 績變項Y（為一連續變項）。請列出一條適切的統計模型公式，並說明該 怎麼做才能得知高、中、低家庭社經地位的學生，在學業成績上是否具 有顯著差異？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、統計模型：採虛擬變項（dummy coding）之多迴歸模型，以低社經地位為參照組，令 D1＝1 表高社經、D2＝1 表中社經（其餘為 0），模型為 Y＝β0＋β1D1＋β2D2＋β3X2＋β4（D1×X2）＋β5（D2×X2）＋ε，其中 ε 為誤差項，並假設其獨立、常態、變異數同質。
- 二、參數解釋：β1、β2 分別為控制社會資本 X2 後，高、中社經組相對低社經組之平均成績差異；β3 為低社經組中 X2 對 Y 之斜率；β4、β5 為交互項，用以檢定 X2 之效果是否隨社經地位而異。若交互項不顯著，可逕行解釋主效果。
- 三、差異檢定：先以整體迴歸的 F 檢定（R² 顯著性）確認模型適配；再以 t 檢定檢驗 β1、β2 是否顯著，或以巢狀模型比較（R² 變化量之 F 檢定）檢驗社經地位之聯合效果。若拒絕虛無假設，續以 Tukey、Bonferroni 或 Scheffé 法從事後多重比較，控制第一類錯誤。
- 四、假設與診斷：須檢核線性、獨立性、殘差常態與變異數同質（可繪殘差圖或進行 Levene 檢定）、X2 之極端值與影響點（Cook's D），以及共線性（VIF 小於 10）。若交互項顯著，應進一步進行單純主效果（simple main effects）分析，必要時以 Johnson-Neyman 法界定顯著區域。
- 五、等價作法與效果量：亦可採單因子 ANCOVA，以社經地位為固定因子、X2 為共變數，比較調整後平均數（estimated marginal means）；並報告效果量 η²、Cohen's d 或信賴區間。若社經地位僅三水準，可另以線性與二次正交對比檢驗趨勢，使結論更具解釋力。
- 六、限制與建議：模型結果屬觀察性資料之關聯，不宜逕作因果推論；社經地位之分類方式、參照組選擇與測量誤差均影響解釋。建議先進行資料清理與遺漏值處理，並以交叉驗證或穩健標準誤確認結果穩定性。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。