民國110年 高考三級 統計 統計學
第1題
令ܺଵ與ܺଶ為具獨立同分布、期望值1 ߣ ⁄ 的指數（exponential）隨機變數。 令ܻଵ= ܺଵ−ܺଶ以及ܻଶ= ܺଶ。（每小題10 分，共20 分）…
題目
令ܺଵ與ܺଶ為具獨立同分布、期望值1 ߣ ⁄ 的指數（exponential）隨機變數。 令ܻଵ= ܺଵ−ܺଶ以及ܻଶ= ܺଶ。（每小題10 分，共20 分） 試求ܻଵ與ܻଶ之聯合機率密度函數。 試求ܻଵ之邊際機率密度函數。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、變數變換與雅可比：令 Y1 = X1 − X2、Y2 = X2，反函數為 X1 = Y1 + Y2、X2 = Y2，雅可比行列式絕對值 |J| = 1。因 X1、X2 獨立且密度 f(x) = λexp(−λx)（x > 0，期望值 1/λ），故聯合密度為 λ²exp[−λ(x1 + x2)]，x1、x2 > 0。
- 二、聯合機率密度函數：將反函數代入並乘上 |J|，得 f(y1, y2) = λ²exp[−λ(y1 + 2y2)]，其支撐為 y2 > 0 且 y1 + y2 > 0，亦即 y2 > max(0, −y1)。此式對 y2 積分後總和為 1，可作為驗算；又因無法分解為兩個邊際密度之乘積，可知 Y1 與 Y2 並不獨立。
- 三、邊際密度之積分：對 y2 積分須依 y1 之正負分段。當 y1 > 0 時積分下限為 0，得 (λ/2)exp(−λy1)；當 y1 < 0 時積分下限為 −y1，得 (λ/2)exp(λy1)。兩式可合併以 |y1| 表示，積分過程中 λ² 與 1/(2λ) 相消。
- 四、邊際分配結果：f(y1) = (λ/2)exp(−λ|y1|)，−∞ < y1 < ∞，即參數為 λ 之 Laplace 分配（Laplace distribution，又稱雙指數分配 double exponential distribution）。其期望值 E(Y1) = 0、變異數 Var(Y1) = 2/λ²，與兩獨立指數變數之差之性質相符。
- 五、作答提醒：本題關鍵在支撐範圍的分段處理，書寫時應明確標示 y2 > max(0, −y1) 之區域並檢查積分值為 1；若僅寫出 λ²exp[−λ(y1 + 2y2)] 而未交代支撐範圍，通常會被酌予扣分。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。