民國110年 高考三級 統計 統計學考古題

民國110年 高考三級 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

令ܺଵ與ܺଶ為具獨立同分布、期望值1 ߣ ⁄ 的指數（exponential）隨機變數。 令ܻଵ= ܺଵ−ܺଶ以及ܻଶ= ܺଶ。（每小題10 分，共20 分） 試求ܻଵ與ܻଶ之聯合機率密度函數。 試求ܻଵ之邊際機率密度函數。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、變數變換與雅可比：令 Y1 = X1 − X2、Y2 = X2，反函數為 X1 = Y1 + Y2、X2 = Y2，雅可比行列式絕對值 |J| = 1。因 X1、X2 獨立且密度 f(x) = λexp(−λx)（x > 0，期望值 1/λ），故聯合密度為 λ²exp[−λ(x1 + x2)]，x1、x2 > 0。
  • 二、聯合機率密度函數：將反函數代入並乘上 |J|，得 f(y1, y2) = λ²exp[−λ(y1 + 2y2)]，其支撐為 y2 > 0 且 y1 + y2 > 0，亦即 y2 > max(0, −y1)。此式對 y2 積分後總和為 1，可作為驗算；又因無法分解為兩個邊際密度之乘積，可知 Y1 與 Y2 並不獨立。
  • 三、邊際密度之積分：對 y2 積分須依 y1 之正負分段。當 y1 > 0 時積分下限為 0，得 (λ/2)exp(−λy1)；當 y1 < 0 時積分下限為 −y1，得 (λ/2)exp(λy1)。兩式可合併以 |y1| 表示，積分過程中 λ² 與 1/(2λ) 相消。
  • 四、邊際分配結果：f(y1) = (λ/2)exp(−λ|y1|)，−∞ < y1 < ∞，即參數為 λ 之 Laplace 分配（Laplace distribution，又稱雙指數分配 double exponential distribution）。其期望值 E(Y1) = 0、變異數 Var(Y1) = 2/λ²，與兩獨立指數變數之差之性質相符。
  • 五、作答提醒：本題關鍵在支撐範圍的分段處理，書寫時應明確標示 y2 > max(0, −y1) 之區域並檢查積分值為 1；若僅寫出 λ²exp[−λ(y1 + 2y2)] 而未交代支撐範圍，通常會被酌予扣分。

第2題

令ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺ௡為一組隨機抽自常態分配N(0,ߪଶ)之樣本。假設ߪଵ ଶ> ߪ଴ ଶ， 在顯著水準0.05 下： 試求檢定 ܪ଴：ߪଶ= ߪ଴ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ= ߪଵ ଶ 的最強力檢定（most powerful test）。（10 分） 試求檢定 ܪ଴：ߪଶ= ߪ଴ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ> ߪ଴ ଶ 的齊一最強力檢定 （uniformly most powerful test）。（5 分） 說明檢定ܪ଴：ߪଶ= ߪ଴ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ≠ߪ଴ ଶ的齊一最強力檢定是否存 在。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、概似函數與充分統計量：X1,…,Xn 為抽自 N(0, σ²) 之隨機樣本，概似函數 L(σ²) = (2πσ²)^(−n/2)exp[−Σxi²/(2σ²)]，以 T = ΣXi² 為充分統計量；在 H0 下 T/σ0² 服從自由度 n 之卡方分配 χ²(n)。
  • 二、最強力檢定（most powerful test）：由 Neyman-Pearson 引理，拒絕域取概似比 f1/f0 > k，化簡後等價於 T > c，即 Σxi² 過大時拒絕 H0。由顯著水準 α = 0.05 定出 c = σ0²·χ²0.95(n)，其中 χ²0.95(n) 為 χ²(n) 之第 95 百分位；檢定力函數為 π(σ1²) = P[χ²(n) > c/σ1²]。
  • 三、單尾之齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）：因常態機率族對 T 具有單調概似比（monotone likelihood ratio），且對 σ² 遞增，故上述拒絕域 {T > σ0²χ²0.95(n)} 對所有 σ² > σ0² 之對立假設同時為最強力檢定，即為 UMP；其檢定力隨 σ² 單調遞增。
  • 四、雙尾不存在 UMP：對 σ² < σ0² 之最強力檢定，拒絕域落在 T 之左尾（T 過小）；對 σ² > σ0² 則落在右尾，兩方向所需之拒絕域相反，無法同時對所有 σ² ≠ σ0² 達到最大檢定力，故 UMP 不存在。實務上改用不偏檢定（unbiased test）：當 T/σ0² < χ²0.025(n) 或 > χ²0.975(n) 時拒絕 H0。

第3題

以下是(ܺ, ܻ)兩變數之觀測資料： X Y 7.46 6.77 12.74 7.11 7.81 8.84 6.08 5.39 8.15 6.42 5.73 以下考慮皮爾森相關係數（Pearson’s correlation coefficient ݎ）與皮爾曼 等級相關係數（Spearman’s rank correlation coefficient ݎ௦）。 試畫出(ܺ, ܻ)之散布圖，並試計算ݎ與ݎ௦。（10 分） 試刪去本數據中之離群子後，重新計算ݎ與ݎ௦。（5 分） 試問ݎ與ݎ௦何者容易受離群子影響？（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、散布圖之文字描述（繪圖題）：以 X 為橫軸、Y 為縱軸，標出各觀測點並註明軸名、刻度與原點。本組資料即 Anscombe 四重奏（Anscombe's quartet）第三組之型態：除一點明顯偏離（約在 X = 13、Y = 12.74 之右上方）外，其餘各點幾乎精確落在一條斜率約 0.345 之直線上。考生應依此描述繪製並圈出該離群點。
  • 二、Pearson 相關係數：r = Sxy / √(Sxx·Syy)，其中 Sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)、Sxx = Σ(xi − x̄)²、Syy = Σ(yi − ȳ)²。計算步驟為先求兩變數之平均數，再求交叉乘積和與各自平方和，最後相除。r 介於 −1 與 1 之間，衡量線性關係之方向與強度。
  • 三、Spearman 等級相關係數：先將 X、Y 各自由小到大排序給秩（遇並列值取平均秩），令 di 為同一觀察值在兩變數之秩差，則 rs = 1 − 6Σdi² / [n(n² − 1)]；若無並列秩，此式與以秩計算之 Pearson 相關完全相同。
  • 四、數值結果：題目資料經轉錄後 X 僅列 5 個數值、Y 列 6 個數值，無法一一配對，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生應以上述公式列式並保留完整計算過程。若題目原意為 Anscombe 第三組完整 11 筆資料，則 r ≈ 0.816、rs ≈ 0.991，可作為對照。
  • 五、刪除離群點後：刪去 (13, 12.74) 後其餘 10 點幾乎共線，Pearson r 將上升至約 0.999 以上，Spearman rs 亦接近 1。此即 Anscombe 四重奏欲表達之重點——相同的相關係數可能對應截然不同的資料結構；實際數值仍須以完整資料重算。
  • 六、何者易受離群值影響：Pearson r 使用原始觀測值與平方和，對離群值（尤其具槓桿效果之 leverage point）非常敏感，一個遠離之點即可大幅壓低 r；Spearman rs 僅使用秩次，屬穩健（robust）統計量，受離群值影響有限。故 r 較易受離群值影響，惟樣本小時單一離群點仍可能改變秩次，需留意。

第4題

甲公司之零件製造部門有三台機器，輪流由五名員工（ABCDE）負責操 作。李主任擬研究不同機器以及不同員工之生產量是否不同。以下是隨 機抽取之生產量資料： 機器一 機器二 機器三 員工A 員工B 員工C 員工D 員工E 試寫出ANOVA 表（Analysis of Variance Table）。（5 分） 在顯著水準0.05 下，試檢定不同機器之生產量是否不同。（5 分） 在顯著水準0.05 下，試檢定不同員工之生產量是否不同。（5 分） 試寫出模型假設。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、設計與模型：三台機器由五位員工輪流操作，屬隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD），機器為處理、員工為區集，每格僅一觀測值，故採無交互作用之可加模式 yij = μ + αi + βj + εij，i = 1, 2, 3（機器），j = 1, …, 5（員工）。
  • 二、ANOVA 表結構：變異來源含機器、員工、誤差與總和。自由度為機器 a − 1 = 2、員工 b − 1 = 4、誤差 (a − 1)(b − 1) = 8、總和 ab − 1 = 14；平方和 SST = ΣΣ(yij − ȳ..)²、SSA = bΣ(ȳi. − ȳ..)²、SSB = aΣ(ȳ.j − ȳ..)²、SSE = SST − SSA − SSB；均方 MS = SS/df。
  • 三、機器效果之檢定：H0：α1 = α2 = α3 = 0，檢定統計量 F = MSA/MSE，在 H0 下服從 F(2, 8)；α = 0.05 之臨界值 F0.05(2,8) = 4.459，若 F > 4.459 則拒絕 H0，判定三台機器之平均生產量有顯著差異，並可進一步以多重比較（如 Tukey 法）找出差異來源。
  • 四、員工效果之檢定：H0：β1 = … = β5 = 0，統計量 F = MSB/MSE 服從 F(4, 8)，臨界值 F0.05(4,8) = 3.838，F > 3.838 時拒絕 H0，表示員工間生產量有顯著差異。由於員工為區集，其主要作用在吸收個別差異、降低誤差變異，以提高機器比較之檢定力。
  • 五、模型假設：εij 相互獨立且服從 N(0, σ²)，即常態性、獨立性與變異數同質性；模式具可加性（機器與員工間無交互作用），且 Σαi = 0、Σβj = 0（固定效果）。若可加性不成立，須改採有重複觀測之雙因子模式並檢定交互作用。
  • 六、資料缺漏之處理：題目僅列出機器與員工之名稱，未附各格實際生產量，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值；作答時應完整寫出變異來源、自由度、平方和公式、均方與 F 值欄位，並註明 F 值須待數據代入後方能計算與判定。

第5題

乙公司從2018年第一季至2020年第四季之銷售量如下表所示： 第一季 第二季 第三季 第四季 1,600 2,500 2,800 2,970 2,100 3,100 3,650 3,350 2,250 3,250 3,840 3,860 假設該公司近年第一至四季的季節指數分別為74.720、103.978、 123.761、97.540。 試計算去除季節因子之銷售量。（5 分） 考慮簡單線性模型ݕ௧= ߙ+ ߚݐ+ ݁௧，試求出去除季節因子之銷售量 的趨勢估計式，並在0.05 顯著水準下檢定斜率是否為零。（10 分） 試預測2021 年第一至四季之銷售量。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、去季節化公式：以季節指數 Si（單位為百分比）除之，去季節化銷售量 dt = yt / (Si / 100)，其中 i 為該期所屬季別。此步驟在移除季節波動，使序列僅反映趨勢與不規則成分，後續迴歸即以 dt 為依變數。
  • 二、計算結果（2018Q1 至 2020Q4）：2141.3、2404.4、2262.4、3044.9、2810.5、2981.4、2949.2、3434.5、3011.2、3125.7、3102.8、3957.4。例如 2018Q1 為 1600/0.7472 ≈ 2141.3，2020Q4 為 3860/0.9754 ≈ 3957.4。
  • 三、趨勢估計式：以 t = 1, …, 12 配適 dt = α + βt + et，得 t̄ = 6.5、Stt = Σ(t − t̄)² = 143、Sty = Σ(t − t̄)(dt − d̄) ≈ 16987.98，故 β̂ = Sty/Stt ≈ 118.80，α̂ = d̄ − β̂t̄ ≈ 2935.47 − 772.18 ≈ 2163.29；趨勢估計式為 d̂t = 2163.29 + 118.80t。
  • 四、斜率檢定：SSR = β̂·Sty ≈ 2,018,121，Syy ≈ 2,758,776，SSE = Syy − SSR ≈ 740,655，MSE = 740,655/10 ≈ 74,066，s ≈ 272.1，SE(β̂) = s/√143 ≈ 22.76，t = 118.80/22.76 ≈ 5.22。df = 10 之 t0.025 = 2.228，|t| > 2.228，拒絕 H0：β = 0，斜率顯著為正（R² ≈ 0.73）。
  • 五、2021 年預測：令 t = 13、14、15、16，趨勢值為 3707.7、3826.5、3945.3、4064.0；再乘回各季指數得 3707.7×0.7472 ≈ 2770、3826.5×1.03978 ≈ 3979、3945.3×1.23761 ≈ 4883、4064.0×0.9754 ≈ 3964。即 2021 年四季預測銷量約為 2,770、3,979、4,883、3,964。
  • 六、限制與提醒：此預測隱含季節型態穩定、趨勢為線性且無結構性改變之假設，未考慮景氣循環與不規則變動；若季節指數係以移動平均法或比率平均法估計，尚須注意其正規化（四季指數和為 400）與資料期間之一致性，並宜以信賴區間呈現預測之不確定性。