民國110年 高考三級 統計 統計學
第2題
令ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺ為一組隨機抽自常態分配N(0,ߪଶ)之樣本。假設ߪଵ ଶ> ߪ ଶ， 在顯著水準0.05 下： 試求檢定 ܪ：ߪଶ=…
題目
令ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺ為一組隨機抽自常態分配N(0,ߪଶ)之樣本。假設ߪଵ ଶ> ߪ ଶ， 在顯著水準0.05 下： 試求檢定 ܪ：ߪଶ= ߪ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ= ߪଵ ଶ 的最強力檢定（most powerful test）。（10 分） 試求檢定 ܪ：ߪଶ= ߪ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ> ߪ ଶ 的齊一最強力檢定 （uniformly most powerful test）。（5 分） 說明檢定ܪ：ߪଶ= ߪ ଶvs. ܪଵ：ߪଶ≠ߪ ଶ的齊一最強力檢定是否存 在。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、概似函數與充分統計量：X1,…,Xn 為抽自 N(0, σ²) 之隨機樣本，概似函數 L(σ²) = (2πσ²)^(−n/2)exp[−Σxi²/(2σ²)]，以 T = ΣXi² 為充分統計量；在 H0 下 T/σ0² 服從自由度 n 之卡方分配 χ²(n)。
- 二、最強力檢定（most powerful test）：由 Neyman-Pearson 引理，拒絕域取概似比 f1/f0 > k，化簡後等價於 T > c，即 Σxi² 過大時拒絕 H0。由顯著水準 α = 0.05 定出 c = σ0²·χ²0.95(n)，其中 χ²0.95(n) 為 χ²(n) 之第 95 百分位；檢定力函數為 π(σ1²) = P[χ²(n) > c/σ1²]。
- 三、單尾之齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）：因常態機率族對 T 具有單調概似比（monotone likelihood ratio），且對 σ² 遞增，故上述拒絕域 {T > σ0²χ²0.95(n)} 對所有 σ² > σ0² 之對立假設同時為最強力檢定，即為 UMP；其檢定力隨 σ² 單調遞增。
- 四、雙尾不存在 UMP：對 σ² < σ0² 之最強力檢定，拒絕域落在 T 之左尾（T 過小）；對 σ² > σ0² 則落在右尾，兩方向所需之拒絕域相反，無法同時對所有 σ² ≠ σ0² 達到最大檢定力，故 UMP 不存在。實務上改用不偏檢定（unbiased test）：當 T/σ0² < χ²0.025(n) 或 > χ²0.975(n) 時拒絕 H0。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。