民國111年 高考三級 統計 迴歸分析
第1題
下表為隨機抽取全臺30 處茶園所生產的某一品種之茶葉資料，包括該茶 園所在的區域（標示為1、2、3）、茶葉每10 公克價格（單位：新臺幣元） 及由茶葉的特性綜合…
題目
下表為隨機抽取全臺30 處茶園所生產的某一品種之茶葉資料，包括該茶 園所在的區域（標示為1、2、3）、茶葉每10 公克價格（單位：新臺幣元） 及由茶葉的特性綜合計算而得之兩種因素（甲、乙）分數。 茶園 因素甲（ࢄ）因素乙（ࢄ）區域（ࢄ）價格（Y） 3.1 4.1 9.8 3.5 3.9 12.6 4.8 4.7 11.9 3.1 3.6 11.1 5.5 5.1 9.3 5.0 4.1 12.8 4.8 3.3 12.8 4.3 5.2 12.0 3.9 2.9 13.6 4.7 3.9 13.9 4.5 3.6 14.4 4.3 3.6 12.3 7.0 4.1 16.1 6.7 3.7 16.1 5.8 4.1 15.5 5.6 4.4 15.5 4.8 4.6 13.8 5.5 4.1 13.8 4.3 3.1 11.3 3.4 3.4 10.9 6.6 4.8 15.1 5.3 3.8 13.5 5.0 3.7 10.8 4.1 4.0 9.5 5.7 4.7 12.7 4.7 4.9 11.6 5.1 5.1 11.7 5.0 5.1 11.9 5.0 4.4 10.8 2.9 3.9 8.5 總和 144.00 123.90 375.60 總平方和 722.02 523.03 4821.30 「總和」與「總平方和」表示該變數之值的加總及取平方後之加總。 定義區域ܺଷ之指標變數如下： ܦଵ= ቊ 若該茶園屬於區域1 其他 、ܦଶ= ቊ 若該茶園屬於區域2 其他 、ܦଷ= ቊ 若該茶園屬於區域3 其他 以茶葉每10 公克之價格為反應變數，考慮迴歸模型如下： ܻ= ߚ+ ߚଵܺଷ+ ߝ 模型A ܻ= ߚ+ ߚଵܦଶ+ ߚଶܦଷ+ ߝ 模型B ܻ= ߚ+ ߚଵܦଵ+ ߚଶܦଶ+ ߝ 模型C ܻ= ߚ+ ߚଵܦଵ+ ߚଶܦଶ+ ߚଷܦଷ+ ߝ 模型D ܻ= ߚଵܦଵ+ ߚଶܦଶ+ ߚଷܦଷ+ ߝ 模型E ߝ為隨機誤差項。 說明模型A、B、C、D 及E 所表達的意義，並決定那些模型是較合適的。 （10 分） 依據模型B，得到以下估計結果： Estimate Std Err Intercept 11.7455 0.3789 ܦଶ -0.9580 0.5840 ܦଷ 2.8091 0.5359 R² = 0.6410 試詳細說明係數ߚଶ之估計值的意義，並計算此模型之迴歸標準誤的 估計。（8 分） 試寫出模型C、D 及E 之所有迴歸係數的估計值。（12 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型A把區域代碼X3當成連續變數，隱含區域1、2、3的效果等距且呈線性，但區域是名目變數，故設定不當；模型B以區域1為參考組，放入D2、D3，β1、β2分別衡量區域2、3相對區域1的平均價格差，為合適的虛擬變數模型。
- 二、模型C以區域3為參考組，D1、D2分別捕捉區域1、2相對區域3的差異，與B只是基準組不同，配適結果等價且合適；模型D同時放入D1、D2、D3與截距，因D1+D2+D3=1而完全共線，設計矩陣不滿秩，不適合；模型E無截距、放三個虛擬變數，係數直接為三區平均數，為另一種合適參數化。
- 三、模型B中β2對應D3，估計值2.8091表示：在相同情況下，區域3茶園每10公克平均價格比區域1高2.8091元；因模型未含其他解釋變數，這其實是兩區樣本平均數之差（14.5546−11.7455）。
- 四、迴歸標準誤估計：SST＝4821.30−(375.60)²/30＝118.788，SSE＝(1−0.6410)×118.788＝42.6449，df＝30−3＝27，MSE＝42.6449/27＝1.5794，故s＝√MSE＝1.2568元。
- 五、模型C：β0=14.5546（區域3基準），β1=-2.8091、β2=-3.7671；模型D因完全共線，無唯一解，不能列出唯一估計值；模型E：β1=11.7455、β2=10.7875、β3=14.5546（分別為區域1、2、3平均價格）。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。