民國111年 高考三級 統計 迴歸分析考古題
民國111年 高考三級 統計 迴歸分析收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
下表為隨機抽取全臺30 處茶園所生產的某一品種之茶葉資料，包括該茶
園所在的區域（標示為1、2、3）、茶葉每10 公克價格（單位：新臺幣元）
及由茶葉的特性綜合計算而得之兩種因素（甲、乙）分數。
茶園
因素甲（ࢄ）因素乙（ࢄ）區域（ࢄ）價格（Y）
3.1
4.1
9.8
3.5
3.9
12.6
4.8
4.7
11.9
3.1
3.6
11.1
5.5
5.1
9.3
5.0
4.1
12.8
4.8
3.3
12.8
4.3
5.2
12.0
3.9
2.9
13.6
4.7
3.9
13.9
4.5
3.6
14.4
4.3
3.6
12.3
7.0
4.1
16.1
6.7
3.7
16.1
5.8
4.1
15.5
5.6
4.4
15.5
4.8
4.6
13.8
5.5
4.1
13.8
4.3
3.1
11.3
3.4
3.4
10.9
6.6
4.8
15.1
5.3
3.8
13.5
5.0
3.7
10.8
4.1
4.0
9.5
5.7
4.7
12.7
4.7
4.9
11.6
5.1
5.1
11.7
5.0
5.1
11.9
5.0
4.4
10.8
2.9
3.9
8.5
總和
144.00
123.90
375.60
總平方和
722.02
523.03
4821.30
「總和」與「總平方和」表示該變數之值的加總及取平方後之加總。
定義區域ܺଷ之指標變數如下：
ܦଵ= ቊ
若該茶園屬於區域1
其他
、ܦଶ= ቊ
若該茶園屬於區域2
其他
、ܦଷ= ቊ
若該茶園屬於區域3
其他
以茶葉每10 公克之價格為反應變數，考慮迴歸模型如下：
ܻ= ߚ+ ߚଵܺଷ+ ߝ
模型A
ܻ= ߚ+ ߚଵܦଶ+ ߚଶܦଷ+ ߝ
模型B
ܻ= ߚ+ ߚଵܦଵ+ ߚଶܦଶ+ ߝ
模型C
ܻ= ߚ+ ߚଵܦଵ+ ߚଶܦଶ+ ߚଷܦଷ+ ߝ
模型D
ܻ= ߚଵܦଵ+ ߚଶܦଶ+ ߚଷܦଷ+ ߝ
模型E
ߝ為隨機誤差項。
說明模型A、B、C、D 及E 所表達的意義，並決定那些模型是較合適的。
（10 分）
依據模型B，得到以下估計結果：
Estimate Std Err
Intercept 11.7455
0.3789
ܦଶ
-0.9580
0.5840
ܦଷ
2.8091
0.5359
R² = 0.6410
試詳細說明係數ߚଶ之估計值的意義，並計算此模型之迴歸標準誤的
估計。（8 分）
試寫出模型C、D 及E 之所有迴歸係數的估計值。（12 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型A把區域代碼X3當成連續變數，隱含區域1、2、3的效果等距且呈線性，但區域是名目變數，故設定不當；模型B以區域1為參考組，放入D2、D3，β1、β2分別衡量區域2、3相對區域1的平均價格差，為合適的虛擬變數模型。
- 二、模型C以區域3為參考組，D1、D2分別捕捉區域1、2相對區域3的差異，與B只是基準組不同，配適結果等價且合適；模型D同時放入D1、D2、D3與截距，因D1+D2+D3=1而完全共線，設計矩陣不滿秩，不適合；模型E無截距、放三個虛擬變數，係數直接為三區平均數，為另一種合適參數化。
- 三、模型B中β2對應D3，估計值2.8091表示：在相同情況下，區域3茶園每10公克平均價格比區域1高2.8091元；因模型未含其他解釋變數，這其實是兩區樣本平均數之差（14.5546−11.7455）。
- 四、迴歸標準誤估計：SST＝4821.30−(375.60)²/30＝118.788，SSE＝(1−0.6410)×118.788＝42.6449，df＝30−3＝27，MSE＝42.6449/27＝1.5794，故s＝√MSE＝1.2568元。
- 五、模型C：β0=14.5546（區域3基準），β1=-2.8091、β2=-3.7671；模型D因完全共線，無唯一解，不能列出唯一估計值；模型E：β1=11.7455、β2=10.7875、β3=14.5546（分別為區域1、2、3平均價格）。
承上題，令模型F 為 ܻ= ߚ+ ߚଵܺଵ+ ߚଶܺଶ+ ߚଷܦଶ+ ߚସܦଷ+ ߝ 。
依據模型F，得到以下估計結果：
Estimate Std Err
Intercept
10.6039
1.4918
ܺଵ
0.8881
0.2752
ܺଶ
-0.6561
0.3686
ܦଶ
-0.9285
0.5097
ܦଷ
1.6658
0.5853
R² = 0.7473
若有一茶園位於區域1，且其因素甲與因素乙的分數皆為4.5。該品種
之茶葉包裝方式為500 公克一盒，請估計一盒的售價。（4 分）
若將反應變數的單位改為茶葉每公斤之價格，寫出此迴歸模型之係數
估計結果及其標準誤（如表格中之Estimate 與Std Err）。（8 分）
在顯著水準為0.05 下，檢定ߚଵ與ߚଶ是否同時等於0。（8 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、區域1代表D2=D3=0，且X1=X2=4.5；代入模型F：Ŷ=10.6039+0.8881×4.5−0.6561×4.5=11.6479元/10公克。500公克為50個10公克，故一盒估計售價=50×11.6479=582.40元。
- 二、令Y*為每公斤價格，則Y*=100Y；將反應變數乘100，所有係數估計值與標準誤同乘100，R²不變。估計表變為：截距1060.39（SE 149.18）、X1 88.81（27.52）、X2 -65.61（36.86）、D2 -92.85（50.97）、D3 166.58（58.53），R²=0.7473。
- 三、檢定H0：β1=β2=0，H1：至少一者不為0。全模型F的R²=0.7473，受限模型B的R²=0.6410；n=30、全模型參數5個，故q=2、誤差df=25。
- 四、部分F=[(0.7473−0.6410)/2]/[(1−0.7473)/25]=0.05315/0.010108=5.258。F0.95(2,25)≈3.39，5.258>3.39，p≈0.012<0.05，拒絕H0。
- 五、結論：控制區域後，因素甲與因素乙聯合對茶葉價格有顯著線性影響；不能因X2單獨t檢定不顯著就宣稱兩者皆無效，聯合檢定與個別檢定回答不同問題。
若迴歸分析得到以下變異數分析（Analysis of variance, ANOVA）表：
Source of
variation
Degrees of
freedom
Sum of
squares
Mean
square
F
Regression
（1）
（6）
（8）
（13）
ܺଵ
（2）
33.2
（9）
（14）
ܺଶ|ܺଵ
（3）
15.3
（10）
（15）
ܺଷ|ܺଵ, ܺଶ
（4）
22.2
（11）
（16）
Error
（5）
（7）
（12）
Total
106.3
請寫出ANOVA 表中（1）至（16）的值。（16 分）
在顯著水準為0.05 下，詳述ANOVA 表中（13）至（16）所提供之檢
定的意義與結果。（14 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、依原表Total df=29，回歸有3個解釋變數，故（1）=3、（2）=（3）=（4）=1、（5）=26；（6）=33.2+15.3+22.2=70.7、（7）=106.3−70.7=35.6、（8）=70.7/3=23.5667、（9）=33.2、（10）=15.3、（11）=22.2、（12）=35.6/26=1.3692。
- 二、（13）=（8）/（12）=17.21；（14）=（9）/（12）=24.25；（15）=（10）/（12）=11.17；（16）=（11）/（12）=16.21。以上F值皆以全模型MSE=1.3692為分母。
- 三、（13）為整體F檢定，H0：β1=β2=β3=0，H1：至少一個斜率不為0；F=17.21>F0.95(3,26)≈2.98，拒絕H0，顯示回歸模型整體具解釋力。
- 四、（14）至（16）為依序進入模型的sequential（Type I）檢定：（14）檢定X1單獨進入的貢獻，H0：β1=0；（15）檢定控制X1後X2的增量，H0：β2=0；（16）檢定控制X1、X2後X3的增量，H0：β3=0。
- 五、三者F值分別24.25、11.17、16.21，均大於F0.95(1,26)≈4.23，p<0.05，皆拒絕H0；故在指定順序下三變數均有顯著貢獻。惟（14）不是控制X2、X3後的偏效果，若要偏效果應看Type III平方和。
考慮p 個解釋變數（ܺଵ、ܺଶ、… 、ܺ），n 個觀測值的複迴歸模型如下：
ܻ= ߚ+ ߚଵܺଵ+ ߚଶܺଶ+ … + ߚܺ+ ߝ，
i=1, 2, …, n
試以上述模型詳述共線性的意義，當共線性現象發生時所可能導致之
影響。（10 分）
詳述變異膨脹因子（variance inflation factor, VIF）之定義及其判斷準則。
（10 分）
【附表】F 分配表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、共線性（collinearity，或稱複共線性 multicollinearity）指p個解釋變數間存在精確或近似線性關係，即有不全為零的常數c0,c1,…,cp，使c0+c1X1i+…+cpXpi≈0（精確時等於0）。它表示某一解釋變數可由其他變數的線性組合幾乎完全複製，使設計矩陣X'X趨近奇異。
- 二、成因包括變數本質高度相關、虛擬變數設定不當（如D1+D2+D3=1與截距同時放入）、多項式或交互項未中心化、樣本數不足或資料範圍受限。完全共線性與近似共線性應區分：前者X'X不可逆，後者仍可估計但資訊矩陣病態。
- 三、影響方面，在標準假設下OLS仍為不偏，但Var(βj估計值)=σ²VIFj/Σ(Xij−X̄j)²變大，標準誤膨脹、t值變小、信賴區間變寬，係數符號與大小不穩定；可能出現個別變數不顯著、整體F卻顯著，或小樣本變動即改變結論。預測在觀測範圍內未必變差，但外推與因果解釋風險高。
- 四、變異膨脹因子定義為VIFj=1/(1−Rj²)，其中Rj²是將Xj對其餘所有解釋變數（含截距）迴歸所得的判定係數；VIFj即該係數變異因共線性而被放大的倍數。VIFj=1表示無線性關聯，VIFj愈大代表變異膨脹愈嚴重。
- 五、判斷準則常用VIF>10（或容忍度tolerance=1/VIF<0.1）為嚴重共線性，VIF>5（或4）為中度警訊，仍應配合領域知識與模型目的判斷。VIF只偵測線性相依，且虛擬變數、交互項可能結構性偏高；改善可用理論刪併變數、中心化、增加樣本、脊迴歸（ridge regression）、主成分迴歸（PCR）或偏最小平方（PLS）。