民國111年 高考三級 統計 迴歸分析
第4題
考慮p 個解釋變數（ܺଵ、ܺଶ、… 、ܺ），n 個觀測值的複迴歸模型如下： ܻ= ߚ+ ߚଵܺଵ+ ߚଶܺଶ+ … + ߚܺ+ ߝ， i=1,…
題目
考慮p 個解釋變數（ܺଵ、ܺଶ、… 、ܺ），n 個觀測值的複迴歸模型如下： ܻ= ߚ+ ߚଵܺଵ+ ߚଶܺଶ+ … + ߚܺ+ ߝ， i=1, 2, …, n 試以上述模型詳述共線性的意義，當共線性現象發生時所可能導致之 影響。（10 分） 詳述變異膨脹因子（variance inflation factor, VIF）之定義及其判斷準則。 （10 分） 【附表】F 分配表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、共線性（collinearity，或稱複共線性 multicollinearity）指p個解釋變數間存在精確或近似線性關係，即有不全為零的常數c0,c1,…,cp，使c0+c1X1i+…+cpXpi≈0（精確時等於0）。它表示某一解釋變數可由其他變數的線性組合幾乎完全複製，使設計矩陣X'X趨近奇異。
- 二、成因包括變數本質高度相關、虛擬變數設定不當（如D1+D2+D3=1與截距同時放入）、多項式或交互項未中心化、樣本數不足或資料範圍受限。完全共線性與近似共線性應區分：前者X'X不可逆，後者仍可估計但資訊矩陣病態。
- 三、影響方面，在標準假設下OLS仍為不偏，但Var(βj估計值)=σ²VIFj/Σ(Xij−X̄j)²變大，標準誤膨脹、t值變小、信賴區間變寬，係數符號與大小不穩定；可能出現個別變數不顯著、整體F卻顯著，或小樣本變動即改變結論。預測在觀測範圍內未必變差，但外推與因果解釋風險高。
- 四、變異膨脹因子定義為VIFj=1/(1−Rj²)，其中Rj²是將Xj對其餘所有解釋變數（含截距）迴歸所得的判定係數；VIFj即該係數變異因共線性而被放大的倍數。VIFj=1表示無線性關聯，VIFj愈大代表變異膨脹愈嚴重。
- 五、判斷準則常用VIF>10（或容忍度tolerance=1/VIF<0.1）為嚴重共線性，VIF>5（或4）為中度警訊，仍應配合領域知識與模型目的判斷。VIF只偵測線性相依，且虛擬變數、交互項可能結構性偏高；改善可用理論刪併變數、中心化、增加樣本、脊迴歸（ridge regression）、主成分迴歸（PCR）或偏最小平方（PLS）。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。