民國111年 高考三級 統計 統計學
第1題
隨機變數X 服從指數分配，其機率密度函數為 , if x ( ) 0, if x x e f x
題目
隨機變數X 服從指數分配，其機率密度函數為 , if x ( ) 0, if x x e f x 。 （已知自然對數值：ln(0.05)≒-3, ln(0.25)≒-1.386, ln(0.5)≒-0.693, ln(0.75)≒-0.288, ln(0.95)≒-0.051）（每小題10 分，共20 分） 請計算其「中位數」及「期望值」。 請計算其四分位距（interquartile range）。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分配設定與累積分布：由題目提供的密度函數可知，X 為參數 λ=1 的指數分配（exponential distribution），即 f(x)=e^{-x}，x>0；其累積分布函數為 F(x)=1-e^{-x}。令 x_p 為第 p 百分位數，由 F(x_p)=p 可得 x_p=-ln(1-p)，這是後續計算中位數與四分位數的基礎。
- 二、中位數：中位數 m 滿足 F(m)=0.5，故 m=-ln(0.5)=0.693。其意義為約有一半觀測值小於 0.693、一半大於 0.693；指數分配右偏，因此中位數小於期望值，這也是本題須區分兩者的原因。
- 三、期望值：E(X)=∫_0^∞ x e^{-x} dx。以分部積分令 u=x、dv=e^{-x}dx，可得 E(X)=[-x e^{-x}]_0^∞+∫_0^∞ e^{-x}dx=0+1=1；亦可由 Exp(λ) 的期望值 1/λ，代入 λ=1 得 1。
- 四、四分位距：第一四分位數 Q1=x_{0.25}=-ln(0.75)=0.288；第三四分位數 Q3=x_{0.75}=-ln(0.25)=1.386。故四分位距（interquartile range, IQR）為 Q3-Q1=1.386-0.288=1.098。若以一般參數 λ 表示，則 IQR=ln3/λ，本題 λ=1，故數值為 1.098。
- 五、結果彙整：中位數 0.693、期望值 1、四分位距 1.098；計算時應注意 Q1、Q3 的下標不可顛倒，且 ln(0.75) 與 ln(0.25) 皆為負值，取負號後才為正的位置。若題目參數改為 λ，上述數值須分別除以 λ。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。