民國111年 高考三級 統計 統計學
第2題
研究者自某未知分配之母體A，收集了樣本 n X X
題目
研究者自某未知分配之母體A，收集了樣本 n X X ；自另一母體B， 收集樣本 m Y Y 。 請描述中央極限定理，及使其成立所需要的假設。（14 分） 若想比較母體A 與B 的中心點是否有差異，如何應用中央極限定理及 其他機率性質？（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定理內容：設 X1,…,Xn 為獨立且同分布（i.i.d.）隨機變數，母體期望值 μ、變異數 σ² 均存在且 σ²<∞。當 n 增大時，標準化樣本平均數 Z_n=(X̄_n-μ)/(σ/√n) 的分配會趨近標準常態分配 N(0,1)，亦即 X̄_n 近似 N(μ,σ²/n)。
- 二、成立假設：核心假設為獨立性、同分布性、有限均值與有限變異數；母體不必是常態。若 σ 未知，大樣本下以樣本標準差 s 取代，仍可用 Z 近似；小樣本或母體極端偏態、重尾時，常態近似可能不佳，需增大 n 或改用無母數、拔靴法。若抽樣不獨立（如群聚抽樣），定理不直接適用。
- 三、比較兩母體中心點：設兩樣本獨立，A、B 的樣本平均數分別為 X̄、Ȳ。由中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）得 X̄-Ȳ 近似 N(μA-μB, σA²/n+σB²/m)。在 H0：μA=μB 下，檢定統計量 Z=(X̄-Ȳ)/√(sA²/n+sB²/m) 近似 N(0,1)；亦可建構 (X̄-Ȳ)±z_{α/2}√(sA²/n+sB²/m) 的信賴區間。
- 四、判定規則：若 |Z|>z_{α/2}，或信賴區間不含 0，則拒絕 H0，認為兩母體中心點有差異；若只關心單側，改用單尾臨界值。需注意 CLT 保證的是近似分配，樣本數是否足夠取決於母體偏態與尾部；變異數未知且樣本小時，宜採 Welch t 檢定並說明其近似性。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。