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民國111年 高考三級 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
隨機變數X 服從指數分配，其機率密度函數為
, if x
( )
0,
if x
x
e
f x
。
（已知自然對數值：ln(0.05)≒-3, ln(0.25)≒-1.386, ln(0.5)≒-0.693,
ln(0.75)≒-0.288, ln(0.95)≒-0.051）（每小題10 分，共20 分）
請計算其「中位數」及「期望值」。
請計算其四分位距（interquartile range）。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、分配設定與累積分布：由題目提供的密度函數可知，X 為參數 λ=1 的指數分配（exponential distribution），即 f(x)=e^{-x}，x>0；其累積分布函數為 F(x)=1-e^{-x}。令 x_p 為第 p 百分位數，由 F(x_p)=p 可得 x_p=-ln(1-p)，這是後續計算中位數與四分位數的基礎。 二、中位數：中位數 m 滿足 F(m)=0.5，故 m=-ln(0.5)=0.693。其意義為約有一半觀測值小於 0.693、一半大於 0.693；指數分配右偏，因此中位數小於期望值，這也是本題須區分兩者的原因。 三、期望值：E(X)=∫_0^∞ x e^{-x} dx。以分部積分令 u=x、dv=e^{-x}dx，可得 E(X)=[-x e^{-x}]_0^∞+∫_0^∞ e^{-x}dx=0+1=1；亦可由 Exp(λ) 的期望值 1/λ，代入 λ=1 得 1。 四、四分位距：第一四分位數 Q1=x_{0.25}=-ln(0.75)=0.288；第三四分位數 Q3=x_{0.75}=-ln(0.25)=1.386。故四分位距（interquartile range, IQR）為 Q3-Q1=1.386-0.288=1.098。若以一般參數 λ 表示，則 IQR=ln3/λ，本題 λ=1，故數值為 1.098。 五、結果彙整：中位數 0.693、期望值 1、四分位距 1.098；計算時應注意 Q1、Q3 的下標不可顛倒，且 ln(0.75) 與 ln(0.25) 皆為負值，取負號後才為正的位置。若題目參數改為 λ，上述數值須分別除以 λ。
研究者自某未知分配之母體A，收集了樣本
n
X
X
；自另一母體B，
收集樣本
m
Y
Y
。
請描述中央極限定理，及使其成立所需要的假設。（14 分）
若想比較母體A 與B 的中心點是否有差異，如何應用中央極限定理及
其他機率性質？（6 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、定理內容：設 X1,…,Xn 為獨立且同分布（i.i.d.）隨機變數，母體期望值 μ、變異數 σ² 均存在且 σ²<∞。當 n 增大時，標準化樣本平均數 Z_n=(X̄_n-μ)/(σ/√n) 的分配會趨近標準常態分配 N(0,1)，亦即 X̄_n 近似 N(μ,σ²/n)。 二、成立假設：核心假設為獨立性、同分布性、有限均值與有限變異數；母體不必是常態。若 σ 未知，大樣本下以樣本標準差 s 取代，仍可用 Z 近似；小樣本或母體極端偏態、重尾時，常態近似可能不佳，需增大 n 或改用無母數、拔靴法。若抽樣不獨立（如群聚抽樣），定理不直接適用。 三、比較兩母體中心點：設兩樣本獨立，A、B 的樣本平均數分別為 X̄、Ȳ。由中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）得 X̄-Ȳ 近似 N(μA-μB, σA²/n+σB²/m)。在 H0：μA=μB 下，檢定統計量 Z=(X̄-Ȳ)/√(sA²/n+sB²/m) 近似 N(0,1)；亦可建構 (X̄-Ȳ)±z_{α/2}√(sA²/n+sB²/m) 的信賴區間。 四、判定規則：若 |Z|>z_{α/2}，或信賴區間不含 0，則拒絕 H0，認為兩母體中心點有差異；若只關心單側，改用單尾臨界值。需注意 CLT 保證的是近似分配，樣本數是否足夠取決於母體偏態與尾部；變異數未知且樣本小時，宜採 Welch t 檢定並說明其近似性。
A、B、C 為三種硬幣，其正面的概率分別為1/3, 1/2, 2/3。今隨機選了一
個，拋8 次，得到5 次正面3 次反面。（每小題10 分，共20 分）
以似然比（Likelihood ratio）方法估計這是那個硬幣的可能性最大。
若A 硬幣有3 個，B 硬幣有2 個，C 硬幣有1 個；從這6 個隨機選一
個拋8 次，得5 次正面3 次反面。以似然比方法估計這是那種硬幣。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、似然函數的建立：令正面次數 K~Binomial(8,p)，觀測到 k=5。似然函數為 L(p)=C(8,5)p^5(1-p)^3，常數 C(8,5)=56 不影響比較，故只比較 p^5(1-p)^3。似然比（likelihood ratio）法即比較各候選 p 下的 L(p)，找出使觀測資料最可能出現的參數。 二、三種硬幣的似然值：A 硬幣 p=1/3，L_A∝(1/3)^5(2/3)^3=8/6561≒0.001219；B 硬幣 p=1/2，L_B∝(1/2)^8=1/256≒0.003906；C 硬幣 p=2/3，L_C∝(2/3)^5(1/3)^3=32/6561≒0.004877。因 L_C 最大，故以似然比法估計為 C 硬幣。 三、似然比判讀：以 A 為基準，L_C/L_A=4，L_B/L_A=(1/256)/(8/6561)=6561/2048≒3.204；以 B 為基準，L_C/L_B=(32/6561)/(1/256)=8192/6561≒1.249。C 的似然值約為 A 的 4 倍、B 的 1.25 倍，支持 C 的程度最高，但並非「必然為 C」。 四、加入先驗個數：第二小題的抽選並非等機率，A、B、C 被選中的先驗機率分別為 3/6、2/6、1/6。後驗機率與 prior×likelihood 成正比；因共同分母 6 可約去，可以先以個數 3、2、1 加權，得未標準化值 A：3×8/6561=24/6561，B：2×1/256=1/128，C：1×32/6561=32/6561。比較可知 B 最大，估計為 B 硬幣。 五、後驗機率與結論：將上述加權值通分，共同分母取 6561×128，分子和為 3072+6561+4096=13729，故 P(A|data)=3072/13729≒22.38%，P(B|data)=6561/13729≒47.80%，P(C|data)=4096/13729≒29.83%。B 的後驗機率最高；此處本質上是先驗加權的似然比，與第一小題僅用 likelihood 的結果不同，答題時應明確區分。
令݈݃為以10 為底的對數、ɛ為期望值0 的誤差。y和x 的關係可以下式
表達：݈݃(ݕ) = 1 + β ∙ݔ+ ɛ。
請導出β的最小平方法估計公式。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型與參數意義：令 z_i=log10(y_i)，題給模型為 z_i=1+βx_i+ε_i，其中 ε_i 為期望值 0 的誤差，且假設 E(ε_i|x_i)=0。β 表示 x 每增加一單位，z 平均增加 β；換回原尺度，y 平均乘以 10^β，故 β 是半對數模型中的斜率。 二、最小平方法的目標：最小平方法（least squares）選擇 β，使殘差平方和 Q(β)=Σ_i(z_i-1-βx_i)^2 最小。此處截距固定為 1，並非一般簡單線性迴歸的未知截距，因此只對 β 微分，不能直接套用含 x̄、z̄ 的公式。 三、微分與估計式：對 β 微分得 dQ/dβ=-2Σ_i x_i(z_i-1-βx_i)。令其為 0，得 Σ_i x_i(z_i-1)=βΣ_i x_i^2，故 β̂=Σ_i x_i(z_i-1)/Σ_i x_i^2。此式要求 Σx_i^2>0；若所有 x_i 均為 0，β 無法辨識。 四、二階條件與配適值：d²Q/dβ²=2Σx_i^2>0，故上述解為極小值。配適值為 ẑ_i=1+β̂x_i，殘差 e_i=z_i-ẑ_i；在截距為未知參數的模型中，最小平方法才有殘差和為 0 的性質，本題截距固定，故不必然成立。 五、若將 1 視為未知截距：若題意改為 z_i=α+βx_i+ε_i，則 β̂=Σ(x_i-x̄)(z_i-z̄)/Σ(x_i-x̄)^2，α̂=z̄-β̂x̄。兩種公式不可混用；本題因模型明定截距為 1，應採固定截距公式。另須注意 y_i>0 才能使對數有意義，且誤差為乘性誤差取對數後的加性誤差。
以下為A、B 兩組中風病人手術後復發的時間（以年為單位）。
A
4.2,
6.5,
7.9,
13.2,
B
0.4,
1.2,
2.9,
5.6,
6.7
以Wilcoxon rank sum 檢定，在α = 0.05 顯著水準下檢定H1：A 組的術後
效果較好。需列計算過程，不能用逼近方法。需算出p-value。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、檢定設定與統計量：設 A、B 兩組獨立，H0：兩組術後復發時間的分配相同；H1：A 組術後效果較好，即 A 組復發時間隨機地較長。將 9 個觀測值混合由小到大排秩，取 A 組秩和 W_A 為統計量；n=4、m=5、N=9，無並列值，故可用精確的 Wilcoxon rank sum 分配。 二、排秩與觀察值：混合排序為 B 0.4（1）、B 1.2（2）、B 2.9（3）、A 4.2（4）、B 5.6（5）、A 6.5（6）、B 6.7（7）、A 7.9（8）、A 13.2（9）。因此 W_A=4+6+8+9=27；對應的 Mann-Whitney 統計量 U_A=W_A-n(n+1)/2=27-10=17。 三、精確虛無分配：在 H0 下，9 個秩中任取 4 個給 A 組的機會均等，共有 C(9,4)=126 種。W_A 的期望值為 n(N+1)/2=4×10/2=20。由於 H1 為 A 組較大，右尾 p 值為 P(W_A≥27)，需逐一計數，不可用常態逼近。 四、尾機率計算：A 組秩集合和為 30 的有 {6,7,8,9} 1 種；和為 29 有 {5,7,8,9} 1 種；和為 28 有 {4,7,8,9}、{5,6,8,9} 2 種；和為 27 有 {3,7,8,9}、{4,6,8,9}、{5,6,7,9} 3 種。合計 7 種，故 p 值=7/126≒0.0556。 五、判定與結論：單尾 α=0.05 時，P(W_A≥28)=4/126≒0.0317≤0.05，而 P(W_A≥27)=0.0556>0.05，故拒絕域為 W_A≥28。觀察值 W_A=27 未落入拒絕域，不能拒絕 H0，尚無充分證據證明 A 組術後效果較好；精確 p 值為 0.0556，接近但未達顯著。