民國111年 高考三級 統計 統計學
第5題
以下為A、B 兩組中風病人手術後復發的時間（以年為單位）。 A 4.2, 6.5, 7.9, 13.2, B 0.4, 1.2, 2.9, 5.6, 6.7 以…
題目
以下為A、B 兩組中風病人手術後復發的時間（以年為單位）。 A 4.2, 6.5, 7.9, 13.2, B 0.4, 1.2, 2.9, 5.6, 6.7 以Wilcoxon rank sum 檢定，在α = 0.05 顯著水準下檢定H1：A 組的術後 效果較好。需列計算過程，不能用逼近方法。需算出p-value。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定設定與統計量：設 A、B 兩組獨立，H0：兩組術後復發時間的分配相同；H1：A 組術後效果較好，即 A 組復發時間隨機地較長。將 9 個觀測值混合由小到大排秩，取 A 組秩和 W_A 為統計量；n=4、m=5、N=9，無並列值，故可用精確的 Wilcoxon rank sum 分配。
- 二、排秩與觀察值：混合排序為 B 0.4（1）、B 1.2（2）、B 2.9（3）、A 4.2（4）、B 5.6（5）、A 6.5（6）、B 6.7（7）、A 7.9（8）、A 13.2（9）。因此 W_A=4+6+8+9=27；對應的 Mann-Whitney 統計量 U_A=W_A-n(n+1)/2=27-10=17。
- 三、精確虛無分配：在 H0 下，9 個秩中任取 4 個給 A 組的機會均等，共有 C(9,4)=126 種。W_A 的期望值為 n(N+1)/2=4×10/2=20。由於 H1 為 A 組較大，右尾 p 值為 P(W_A≥27)，需逐一計數，不可用常態逼近。
- 四、尾機率計算：A 組秩集合和為 30 的有 {6,7,8,9} 1 種；和為 29 有 {5,7,8,9} 1 種；和為 28 有 {4,7,8,9}、{5,6,8,9} 2 種；和為 27 有 {3,7,8,9}、{4,6,8,9}、{5,6,7,9} 3 種。合計 7 種，故 p 值=7/126≒0.0556。
- 五、判定與結論：單尾 α=0.05 時，P(W_A≥28)=4/126≒0.0317≤0.05，而 P(W_A≥27)=0.0556>0.05，故拒絕域為 W_A≥28。觀察值 W_A=27 未落入拒絕域，不能拒絕 H0，尚無充分證據證明 A 組術後效果較好；精確 p 值為 0.0556，接近但未達顯著。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。