民國111年 高考三級 統計 統計學
第4題
令݈݃為以10 為底的對數、ɛ為期望值0 的誤差。y和x 的關係可以下式 表達：݈݃(ݕ) = 1 + β ∙ݔ+ ɛ。 請導出β的最小平方法估計公式。…
題目
令݈݃為以10 為底的對數、ɛ為期望值0 的誤差。y和x 的關係可以下式 表達：݈݃(ݕ) = 1 + β ∙ݔ+ ɛ。 請導出β的最小平方法估計公式。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與參數意義：令 z_i=log10(y_i)，題給模型為 z_i=1+βx_i+ε_i，其中 ε_i 為期望值 0 的誤差，且假設 E(ε_i|x_i)=0。β 表示 x 每增加一單位，z 平均增加 β；換回原尺度，y 平均乘以 10^β，故 β 是半對數模型中的斜率。
- 二、最小平方法的目標：最小平方法（least squares）選擇 β，使殘差平方和 Q(β)=Σ_i(z_i-1-βx_i)^2 最小。此處截距固定為 1，並非一般簡單線性迴歸的未知截距，因此只對 β 微分，不能直接套用含 x̄、z̄ 的公式。
- 三、微分與估計式：對 β 微分得 dQ/dβ=-2Σ_i x_i(z_i-1-βx_i)。令其為 0，得 Σ_i x_i(z_i-1)=βΣ_i x_i^2，故 β̂=Σ_i x_i(z_i-1)/Σ_i x_i^2。此式要求 Σx_i^2>0；若所有 x_i 均為 0，β 無法辨識。
- 四、二階條件與配適值：d²Q/dβ²=2Σx_i^2>0，故上述解為極小值。配適值為 ẑ_i=1+β̂x_i，殘差 e_i=z_i-ẑ_i；在截距為未知參數的模型中，最小平方法才有殘差和為 0 的性質，本題截距固定，故不必然成立。
- 五、若將 1 視為未知截距：若題意改為 z_i=α+βx_i+ε_i，則 β̂=Σ(x_i-x̄)(z_i-z̄)/Σ(x_i-x̄)^2，α̂=z̄-β̂x̄。兩種公式不可混用；本題因模型明定截距為 1，應採固定截距公式。另須注意 y_i>0 才能使對數有意義，且誤差為乘性誤差取對數後的加性誤差。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。