民國112年 高考三級 統計 迴歸分析
第1題
請利用上述表格計算解釋變數與反應變數之間的相關係數到小數點第四 位，並且由小到大排序計算結果。（假設第一組數據集的相關係數為「r1」、 第二組數據集的相關係數為…
題目
請利用上述表格計算解釋變數與反應變數之間的相關係數到小數點第四 位，並且由小到大排序計算結果。（假設第一組數據集的相關係數為「r1」、 第二組數據集的相關係數為「r2」、第三組數據集的相關係數為「r3」、第 四組數據集的相關係數為「r4」。）（20分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義與公式：Pearson 相關係數（Pearson correlation coefficient）定義為 r = Sxy / √(Sxx × Syy)，其中 Sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)、Sxx = Σ(xi − x̄)²、Syy = Σ(yi − ȳ)²；實務計算亦可採 r = [nΣxiyi − ΣxiΣyi] / √{[nΣxi² − (Σxi)²][nΣyi² − (Σyi)²]}。r 介於 −1 與 1 之間，正值表示正相關、負值表示負相關，絕對值越接近 1 表示線性關聯越強。
- 二、計算步驟：先編表求得 n、Σx、Σy、Σx²、Σy²、Σxy 六個量，再代入上式；開根號前須確認 Sxx 與 Syy 均大於 0，否則相關係數無定義。中間計算建議保留六位以上有效數字，最後依題意四捨五入至小數第四位，並在答案旁標明 r1 至 r4 所對應的數據集，避免排序後混淆。
- 三、排序與並列處理：依數值由小到大排列，寫成 r(1) ≤ r(2) ≤ r(3) ≤ r(4)；若兩組以上數值相同，或差異僅落在末位捨入誤差內，應以並列方式呈現並註明理由，不可任意指定先後。此類題目常刻意設計四組數值幾乎一致，排序結果可能四者並列，考生須說明並列依據，而非勉強編號。
- 四、資料缺漏之處理：本題所稱「上述表格」並未隨題目提供，四組數據集的觀測值無從取得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以上僅列公式、計算步驟與判定規則。作答時應先將表格數據完整抄錄並核對加總，再逐組計算，切勿憑印象填寫數值。
- 五、限制與提醒：相關係數僅衡量線性關係，無法捕捉 U 型或週期性關聯；對離群值（outlier）與極端值高度敏感，雖不受變數單位影響，但不能據以推論因果。Anscombe's quartet 即示範四組資料相關係數相同、散佈圖型態卻截然不同，故應併同散佈圖判讀，避免僅憑 r 下結論。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。