民國112年 高考三級 統計 迴歸分析考古題
民國112年 高考三級 統計 迴歸分析收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
請利用上述表格計算解釋變數與反應變數之間的相關係數到小數點第四
位，並且由小到大排序計算結果。（假設第一組數據集的相關係數為「r1」、
第二組數據集的相關係數為「r2」、第三組數據集的相關係數為「r3」、第
四組數據集的相關係數為「r4」。）（20分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義與公式：Pearson 相關係數（Pearson correlation coefficient）定義為 r = Sxy / √(Sxx × Syy)，其中 Sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)、Sxx = Σ(xi − x̄)²、Syy = Σ(yi − ȳ)²；實務計算亦可採 r = [nΣxiyi − ΣxiΣyi] / √{[nΣxi² − (Σxi)²][nΣyi² − (Σyi)²]}。r 介於 −1 與 1 之間，正值表示正相關、負值表示負相關，絕對值越接近 1 表示線性關聯越強。
- 二、計算步驟：先編表求得 n、Σx、Σy、Σx²、Σy²、Σxy 六個量，再代入上式；開根號前須確認 Sxx 與 Syy 均大於 0，否則相關係數無定義。中間計算建議保留六位以上有效數字，最後依題意四捨五入至小數第四位，並在答案旁標明 r1 至 r4 所對應的數據集，避免排序後混淆。
- 三、排序與並列處理：依數值由小到大排列，寫成 r(1) ≤ r(2) ≤ r(3) ≤ r(4)；若兩組以上數值相同，或差異僅落在末位捨入誤差內，應以並列方式呈現並註明理由，不可任意指定先後。此類題目常刻意設計四組數值幾乎一致，排序結果可能四者並列，考生須說明並列依據，而非勉強編號。
- 四、資料缺漏之處理：本題所稱「上述表格」並未隨題目提供，四組數據集的觀測值無從取得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以上僅列公式、計算步驟與判定規則。作答時應先將表格數據完整抄錄並核對加總，再逐組計算，切勿憑印象填寫數值。
- 五、限制與提醒：相關係數僅衡量線性關係，無法捕捉 U 型或週期性關聯；對離群值（outlier）與極端值高度敏感，雖不受變數單位影響，但不能據以推論因果。Anscombe's quartet 即示範四組資料相關係數相同、散佈圖型態卻截然不同，故應併同散佈圖判讀，避免僅憑 r 下結論。
請利用上述表格針對模型「y = A+ Bx」，計算各個數據集估計方程式的決
定係數（coefficient of determination）到小數點第四位，並且由小到大排序
計算結果。（假設第一組數據集的決定係數為「R21」、第二組數據集的決
定係數為「R22」、第三組數據集的決定係數為「R23」、第四組數據集的
決定係數為「R24」。）（20分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義：決定係數（coefficient of determination）R² = SSR / SST = 1 − SSE / SST，其中 SST = Σ(yi − ȳ)²、SSR = Σ(ŷi − ȳ)²、SSE = Σ(yi − ŷi)²。就含截距項的簡單線性迴歸而言，R² 恰等於相關係數的平方，即 R² = r²，故可先求 r 再平方，或直接由變異分解求得，兩者結果應一致。
- 二、計算步驟：先以最小平方法（OLS）估得 B̂ = Sxy / Sxx 與 Â = ȳ − B̂x̄，計算各點配適值 ŷi = Â + B̂xi，求 SSE 與 SST，再算 R² = 1 − SSE / SST，最後四捨五入至小數第四位。中間值宜保留六位以上，以免誤差累積影響末位；並確認 SST 不為 0。
- 三、排序：由小到大排列為 R²(1) ≤ R²(2) ≤ R²(3) ≤ R²(4)，並對照 R21 至 R24 標示。若四組數值相同或差異僅源於捨入，應並列呈現並註明。R² 介於 0 與 1 之間，越接近 1 表示模型解釋的變異比例越高，但高低順序不等於模型優劣的充分證據。
- 四、資料缺漏之處理：題目未附數據表格，觀測值不可得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；上述僅提供公式與計算流程。作答時應先確認 n、Σx、Σy、Σx²、Σy²、Σxy 無誤，再進行變異分解，並將四組結果列表對照。
- 五、限制：R² 會隨解釋變數增加而不減，多變數模型不宜單以 R² 比較，宜輔以調整後 R²（adjusted R²）；且 R² 高不代表因果成立或預測能力佳，對離群值亦敏感。Anscombe's quartet 中四組 R² 幾乎相同，第三組卻是由離群點撐出的假性配適，須以殘差圖檢視。
請利用上述表格計算各個數據集估計模型「y = A + Bx」的截距到小數點
第四位，並且由小到大排序計算結果。（20分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義：模型 y = A + Bx 中，A 為截距（intercept），表示 x = 0 時 y 的期望值；以最小平方法估計，Â = ȳ − B̂x̄，等價式為 Â = (Σy Σx² − Σx Σxy) / [nΣx² − (Σx)²]。截距與斜率必須同組估計，不可混用其他數據集的數值。
- 二、計算步驟：先求 x̄、ȳ 與 B̂ = Sxy / Sxx，再代回 Â = ȳ − B̂x̄，四捨五入至小數第四位。Â 的單位與 y 相同；計算時應保留足夠位數，並檢查分母 nΣx² − (Σx)² 是否為 0，若為 0 則所有 x 相同，迴歸線無法唯一決定。
- 三、排序：由小到大排列 A(1) ≤ A(2) ≤ A(3) ≤ A(4)，並標明對應數據集；數值相同或僅末位差異時應並列並註明捨入誤差。排序須依代數大小判斷，負值如 −1.2000 小於 0.5000，不可依絕對值排序。
- 四、資料缺漏之處理：本題表格未提供，觀測值不可得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以上僅為公式與判定規則。考生應先完成加總表，再逐組代入，並將中間量一併列出以利核對。
- 五、意義與限制：截距常為外插（extrapolation）結果，若 x = 0 不在觀測範圍內，Â 缺乏實質解釋，僅為定位參數；此外 Â 對資料平移與離群值敏感，報告時宜併同標準誤與信賴區間，說明估計的不確定性。
請利用上述表格計算各個數據集估計模型「y = A + Bx」的斜率到小數點
第五位，並且由小到大排序計算結果。（20分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義：斜率 B 表示 x 每增加一單位時，y 平均改變的量；最小平方法估計式為 B̂ = Sxy / Sxx = [nΣxy − ΣxΣy] / [nΣx² − (Σx)²]，亦可寫為 B̂ = r × (sy / sx)，其中 sy、sx 分別為 y 與 x 的樣本標準差。
- 二、計算步驟：編表求 Σx、Σy、Σxy、Σx²，代入上式，中間值保留七位以上，最後四捨五入至小數第五位；並檢查 Sxx > 0，否則斜率無定義。若題目要求五位小數，務必在最後一步才捨入，避免重複捨入造成末位偏差。
- 三、排序：由小到大排列 B(1) ≤ B(2) ≤ B(3) ≤ B(4)，並標明對應數據集；數值相同時並列並註明。斜率可為負值，排序應依代數大小而非絕對值，例如 −0.80000 小於 0.50000，兩者方向意義完全不同。
- 四、資料缺漏之處理：題目未附表格，觀測值不可得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以上僅列公式、步驟與判定規則。作答時應先核對加總無誤，再逐組計算，並將 B̂ 與 Â、R² 相互驗證。
- 五、意義與限制：斜率帶有單位（y 單位／x 單位），不可跨不同量尺直接比較大小；對離群值與高槓桿點（high leverage point）敏感。Anscombe's quartet 第三組即因單一離群點使斜率明顯偏離其餘十點呈現的關係，宜輔以殘差圖與槓桿值診斷。
針對第三組數據集提出決定係數（coefficient of determination）最接近1.0的
模型。（提示：繪製這一組數據集的散佈圖，並刪除一個影響點。）（20分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、題意與基本作法：本題要求針對第三組資料找出 R² 最接近 1.0 的模型，提示為繪製散佈圖並刪除一個影響點。作法係先以原始資料配適 y = A + Bx 得基準 R²，再繪散佈圖找出偏離線性趨勢者，逐點試刪並重算 R²，比較變化幅度，選出使 R² 最接近 1.0 的模型。
- 二、圖形結構描述：散佈圖以 x 為橫軸、y 為縱軸，x 軸範圍約 4 至 14、y 軸約 5 至 13，刻度建議每格 1 單位。圖中十個點大致沿一條正斜率直線排列，另一點位於右上方、同時偏離該直線，即視覺上的離群點。繪圖時應標明軸名與單位、各點座標，並以虛線標示原始迴歸線、實線標示刪點後迴歸線，另以箭頭標註被刪除之點。
- 三、影響點之判定：影響點（influential point）常兼具離群（outlier，殘差大）與高槓桿（leverage，x 遠離 x̄）性質，可用槓桿值 hii、DFFITS、Cook's distance 等量數輔助判定；一般而言 hii 明顯大於 2p/n 或 Cook's D 大於 1 者值得檢視。本例該點同時具大殘差與高槓桿，刪除後斜率與截距均明顯改變。
- 四、修正模型與結果呈現：刪除該點後，以剩餘觀測值重估 y = A + Bx，配適線幾乎通過所有點，R² 由約 0.67 提升至接近 1.0，實際數值須以題附數據計算。答題時應列表對照刪除前後的 Â、B̂、R²、SSE，說明各估計量變動方向與幅度，而非僅宣稱模型變好。
- 五、限制與建議：不得為提高 R² 而任意刪點，刪除須有正當理由，如記錄錯誤、實驗異常或事先設定的極端值處理原則，並應做敏感性分析、保留原始結果供對照。若採用非線性模型（如加入二次項）亦可能提高 R²，但依提示應以刪除影響點為主。本題若未附數據表格，則題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能提供上述流程與判定規則。