民國112年 高考三級 統計 迴歸分析
第2題
請利用上述表格針對模型「y = A+ Bx」，計算各個數據集估計方程式的決 定係數（coefficient of determination）到小數點第四位，並…
題目
請利用上述表格針對模型「y = A+ Bx」，計算各個數據集估計方程式的決 定係數（coefficient of determination）到小數點第四位，並且由小到大排序 計算結果。（假設第一組數據集的決定係數為「R21」、第二組數據集的決 定係數為「R22」、第三組數據集的決定係數為「R23」、第四組數據集的 決定係數為「R24」。）（20分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、定義：決定係數（coefficient of determination）R² = SSR / SST = 1 − SSE / SST，其中 SST = Σ(yi − ȳ)²、SSR = Σ(ŷi − ȳ)²、SSE = Σ(yi − ŷi)²。就含截距項的簡單線性迴歸而言，R² 恰等於相關係數的平方，即 R² = r²，故可先求 r 再平方，或直接由變異分解求得，兩者結果應一致。
- 二、計算步驟：先以最小平方法（OLS）估得 B̂ = Sxy / Sxx 與 Â = ȳ − B̂x̄，計算各點配適值 ŷi = Â + B̂xi，求 SSE 與 SST，再算 R² = 1 − SSE / SST，最後四捨五入至小數第四位。中間值宜保留六位以上，以免誤差累積影響末位；並確認 SST 不為 0。
- 三、排序：由小到大排列為 R²(1) ≤ R²(2) ≤ R²(3) ≤ R²(4)，並對照 R21 至 R24 標示。若四組數值相同或差異僅源於捨入，應並列呈現並註明。R² 介於 0 與 1 之間，越接近 1 表示模型解釋的變異比例越高，但高低順序不等於模型優劣的充分證據。
- 四、資料缺漏之處理：題目未附數據表格，觀測值不可得，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；上述僅提供公式與計算流程。作答時應先確認 n、Σx、Σy、Σx²、Σy²、Σxy 無誤，再進行變異分解，並將四組結果列表對照。
- 五、限制：R² 會隨解釋變數增加而不減，多變數模型不宜單以 R² 比較，宜輔以調整後 R²（adjusted R²）；且 R² 高不代表因果成立或預測能力佳，對離群值亦敏感。Anscombe's quartet 中四組 R² 幾乎相同，第三組卻是由離群點撐出的假性配適，須以殘差圖檢視。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。