民國112年 高考三級 統計 抽樣方法
第1題
欲了解某一工業園區N家製造業者AI人才的需求狀況，下述三種抽樣設計 可用以推估該工業園區有AI人才需求的業者家數比例及總需求人數： ⑴如果園區各業者的營業規模已…
題目
欲了解某一工業園區N家製造業者AI人才的需求狀況，下述三種抽樣設計 可用以推估該工業園區有AI人才需求的業者家數比例及總需求人數： ⑴如果園區各業者的營業規模已知，首先將業者依其營業規模分成L層 （1, , L ），每層家數分別為 1, , L N N ，再由每層抽取一簡單隨機樣 本，分別為 1, , L n n ，以調查業者的AI人才需求狀況。 ⑵如果園區各業者的營業規模未知，但已知園區業者營業規模的比例分 別為 1, , L W W ，首先由N家業者抽取一簡單隨機樣本（n）調查業者規 模及AI人才需求狀況後，再根據調查結果依其規模分成L層進行推估。 ⑶如果沒有園區業者營業規模的資訊，首先由N家業者抽取一簡單隨機樣 本n ，取得營業規模資訊，而後根據營業規模資訊將n 家業者依其營業 規模分成L層（ 1, , L n n ），再由每層抽取一簡單隨機樣本，分別為 1, , L n n ，調查業者的AI人才需求狀況。 說明前述三種抽樣設計的抽樣方法為何？（10分） 若欲估計園區AI總需求人數（Y ），分別列出對應前述三種抽樣方法的 估計量（estimator）及該估計量之變異數的估計量。（15分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、三種設計的抽樣方法：(1)為分層隨機抽樣（stratified random sampling）：母體業者依營業規模事前分層，各層獨立抽取簡單隨機樣本（SRS），層內為SRS、層間獨立；(2)為事後分層（post-stratification）：先以SRS抽出n戶，調查後再依規模歸層推估，屬「先抽樣、後分層」；(3)為雙重抽樣（double sampling，又稱two-phase sampling）應用於分層：第一相（phase）抽大樣本取得層別資訊，第二相再於各層抽子樣本。
- 二、第(1)種之估計量與變異數估計量：總需求人數 Ŷ_st = Σ(h=1至L) N_h ȳ_h，ȳ_h 為第h層樣本平均；變異數估計量 v(Ŷ_st) = Σ N_h²(1 − n_h/N_h)s_h²/n_h，s_h² 為層內樣本變異數，1 − n_h/N_h 為有限母體校正（finite population correction, fpc）。因N_h已知，可採比例配置或Neyman配置。
- 三、第(2)種：Ŷ_ps = Σ N W_h ȳ_h = N Σ W_h ȳ_h，ȳ_h 為落入第h層之樣本平均，n_h 為隨機變數；v(Ŷ_ps) ≈ Σ (N W_h)²(1 − n_h/N)s_h²/n_h。因n_h隨機，若某層n_h為0或1，須與鄰層合併後再估計，否則偏誤與變異數均不穩定，此為事後分層之主要限制。
- 四、第(3)種：Ŷ_ds = Σ N(n_h′/n′)ȳ_h = N Σ ŵ_h ȳ_h，ŵ_h = n_h′/n′ 用以估計層權W_h；v(Ŷ_ds) = N²{(1 − n′/N)/n′ × Σ ŵ_h(ȳ_h − ȳ_ds)² + Σ ŵ_h²(1 − n_h/n_h′)s_h²/n_h}，第一項反映層權估計誤差，第二項反映層內抽樣誤差。
- 五、比較與選用：三者層內均為SRS，差異在層別資訊之取得方式與成本。(1)需完整抽樣框及規模資料，效率最高、成本最低；(2)僅需母體層權W_h，但依賴「層內同質、層間異質」假設；(3)無任何輔助資訊，須兩次調查、成本最高但最穩健。實務上名冊含規模變數宜採(1)，僅有比例資料採(2)，全然無資訊則採(3)。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。