欲了解某一工業園區N家製造業者AI人才的需求狀況，下述三種抽樣設計
可用以推估該工業園區有AI人才需求的業者家數比例及總需求人數：
⑴如果園區各業者的營業規模已知，首先將業者依其營業規模分成L層
（1,
, L
），每層家數分別為
1,
,
L
N
N
，再由每層抽取一簡單隨機樣
本，分別為
1,
,
L
n
n
，以調查業者的AI人才需求狀況。
⑵如果園區各業者的營業規模未知，但已知園區業者營業規模的比例分
別為
1,
,
L
W
W
，首先由N家業者抽取一簡單隨機樣本（n）調查業者規
模及AI人才需求狀況後，再根據調查結果依其規模分成L層進行推估。
⑶如果沒有園區業者營業規模的資訊，首先由N家業者抽取一簡單隨機樣
本n ，取得營業規模資訊，而後根據營業規模資訊將n 家業者依其營業
規模分成L層（
1,
,
L
n
n
），再由每層抽取一簡單隨機樣本，分別為
1,
,
L
n
n
，調查業者的AI人才需求狀況。
說明前述三種抽樣設計的抽樣方法為何？（10分）
若欲估計園區AI總需求人數（Y ），分別列出對應前述三種抽樣方法的
估計量（estimator）及該估計量之變異數的估計量。（15分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、三種設計的抽樣方法：(1)為分層隨機抽樣（stratified random sampling）：母體業者依營業規模事前分層，各層獨立抽取簡單隨機樣本（SRS），層內為SRS、層間獨立；(2)為事後分層（post-stratification）：先以SRS抽出n戶，調查後再依規模歸層推估，屬「先抽樣、後分層」；(3)為雙重抽樣（double sampling，又稱two-phase sampling）應用於分層：第一相（phase）抽大樣本取得層別資訊，第二相再於各層抽子樣本。
- 二、第(1)種之估計量與變異數估計量：總需求人數 Ŷ_st = Σ(h=1至L) N_h ȳ_h，ȳ_h 為第h層樣本平均；變異數估計量 v(Ŷ_st) = Σ N_h²(1 − n_h/N_h)s_h²/n_h，s_h² 為層內樣本變異數，1 − n_h/N_h 為有限母體校正（finite population correction, fpc）。因N_h已知，可採比例配置或Neyman配置。
- 三、第(2)種：Ŷ_ps = Σ N W_h ȳ_h = N Σ W_h ȳ_h，ȳ_h 為落入第h層之樣本平均，n_h 為隨機變數；v(Ŷ_ps) ≈ Σ (N W_h)²(1 − n_h/N)s_h²/n_h。因n_h隨機，若某層n_h為0或1，須與鄰層合併後再估計，否則偏誤與變異數均不穩定，此為事後分層之主要限制。
- 四、第(3)種：Ŷ_ds = Σ N(n_h′/n′)ȳ_h = N Σ ŵ_h ȳ_h，ŵ_h = n_h′/n′ 用以估計層權W_h；v(Ŷ_ds) = N²{(1 − n′/N)/n′ × Σ ŵ_h(ȳ_h − ȳ_ds)² + Σ ŵ_h²(1 − n_h/n_h′)s_h²/n_h}，第一項反映層權估計誤差，第二項反映層內抽樣誤差。
- 五、比較與選用：三者層內均為SRS，差異在層別資訊之取得方式與成本。(1)需完整抽樣框及規模資料，效率最高、成本最低；(2)僅需母體層權W_h，但依賴「層內同質、層間異質」假設；(3)無任何輔助資訊，須兩次調查、成本最高但最穩健。實務上名冊含規模變數宜採(1)，僅有比例資料採(2)，全然無資訊則採(3)。
某一縣市共4000家養雞戶分散在20個村里（cluster），欲透過調查了解該
縣市養雞戶的所得狀況，抽樣方法可採用一階段集體抽樣（single-stage
cluster sampling）或二階段集體抽樣（two-stage cluster sampling）。
若抽樣方法採一階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣（SRS）
抽出3個村里，就抽得的3個村里之養雞戶全數調查，調查結果村里內養
雞戶數及平均年所得列於下表：
村里
（cluster）
i
養雞戶數
（
i
M ）
村里內養雞戶
平均每戶年所得（百萬元）
（
iy ）
5.6
採用集體大小比率估計量（ratio-to-size estimator,
Ry ）估計該縣市養雞
戶平均每戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。（10分）
若抽樣方法採二階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣抽出3
個村里，再就抽得的3個村里之養雞戶以簡單隨機抽樣分別抽出1/10養
雞戶進行調查，調查結果養雞戶之平均所得列於下表：
村里
（cluster）
i
農戶數
（
i
M ）
抽出養雞戶數
（
i
m ）
村里內抽得之養雞戶平均
每戶年所得及標準差
（百萬元）
（
,
i
i
y
s ）
iy
is
試問：（15分）
⑴本抽樣設計第一階段的抽樣單位（primary sampling unit, PSU）及第
二階段的抽樣單位（secondary sampling unit, SSU）分別為何？
⑵採用不偏估計量（unbiased estimator, y ）估計該縣市養雞戶平均每
戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、一階段集體抽樣之比率估計量（ratio-to-size estimator）：以村里為抽樣單位，抽中村里全數調查，故 y_i = M_i ȳ_i 為第i村里總所得。母體平均每戶年所得之估計量 ȓ = Σ(i∈s) y_i / Σ(i∈s) M_i = Σ M_i ȳ_i / Σ M_i，屬比率估計，僅近似不偏（偏差階數O(1/n)）；當M_i與ȳ_i相關性高時，效率優於展開估計量。
- 二、其變異數估計量與計算步驟：v(ȓ) = (1 − n/N)/(n M̄²) × [Σ(y_i − ȓM_i)²/(n − 1)]，M̄ = Σ M_i/n 為樣本村里平均戶數，標準誤 se(ȓ) = √v(ȓ)。步驟為先算各村里總所得y_i、殘差e_i = y_i − ȓM_i、殘差平方和，再乘fpc與1/(nM̄²)。本題N = 20、n = 3，惟表中M_i與ȳ_i僅存「5.6」一值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 三、二階段集體抽樣之抽樣單位：第一階段抽樣單位（primary sampling unit, PSU）為「村里」，共20個；第二階段抽樣單位（secondary sampling unit, SSU）為「村里內之養雞戶」。因各村里按1/10抽出，m_i = M_i/10，屬自加權（self-weighting）設計，每戶被抽機率均為(3/20)×(1/10)。
- 四、不偏估計量：母體總戶數M_0 = 4000已知，總所得之不偏估計量 Ŷ = (N/n)Σ M_i ȳ_i，故平均每戶年所得 ȳ = Ŷ/M_0 = (20/3)Σ M_i ȳ_i/4000。若各村里規模相近，亦常用等權重式 ȳ = (1/n)Σ ȳ_i，即等機率抽樣下之單位均數估計量（mean per unit estimator）。
- 五、變異數估計量與比較：v(ȳ) = (1/M_0²){N²(1 − n/N)s_u²/n + (N/n)Σ M_i²(1 − m_i/M_i)s_i²/m_i}，s_u² = Σ(M_iȳ_i − M̄_s)²/(n − 1)，M̄_s = (1/n)ΣM_iȳ_i。一階段僅含村里間誤差，但調查成本高；二階段增加第二階段抽樣誤差，卻大幅節省成本。表中M_i、m_i、ȳ_i、s_i多數缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
欲了解某區域養殖漁戶營運狀況，該區域共有800家養殖漁戶，首先由該
區域抽得一個包含500戶（第一重樣本
n
）的簡單隨機樣本以取得養
殖型態（是否為漁電共生的層別資訊），調查得知其中100戶為漁電共生
戶，進而以簡單隨機抽樣由漁電共生及非漁電共生的養殖漁戶分別抽20%
以調查其營運成本資訊，調查結果整理如下表：
養殖型態（層別）
第一重樣本
（戶）
hn
第二重樣本
（戶）
hn
養殖漁戶年營運成本
平均年營運成本
iy （十萬元）
標準差
is （十萬元）
漁電共生（I）
非漁電共生（II）
合計
500（n ）
100（n ）
75（s）
估計該區域養殖漁戶平均年營運成本（Y ）（以十萬元為單位）及該估計
量的標準誤。（10分）
如果此調查總預算為44,500元，取得養殖型態的單位成本為9元，調查
營運成本的單位成本為400元（
9,
h
c
c
），有關標準差、各層權
重、各層平均年營運成本及標準差之母體資訊分別以前述樣本資料（s,
i
i
n
w
n
,
iy ,
is ）取代。試求：（15分）
⑴決定分層雙重抽樣的最佳抽樣設計（Optimum double sample plan），
亦即求算
h
n
n
、。
⑵就⑴的抽樣設計求算平均年營運成本估計量（以十萬元為單位）的
變異數。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設計名稱與估計量：本題為分層雙重抽樣（double sampling for stratification）。第一重樣本n′ = 500戶僅調查養殖型態以估計層權，第二重樣本自各層按20%抽出（n_1 = 20、n_2 = 80）調查營運成本。平均年營運成本估計量 ȳ_ds = Σ ŵ_h ȳ_h，ŵ_h = n_h′/n′，即 ŵ_1 = 100/500 = 0.2、ŵ_2 = 400/500 = 0.8，故 ȳ_ds = 0.2ȳ_1 + 0.8ȳ_2（十萬元）。
- 二、標準誤：v(ȳ_ds) = [(1 − n′/N)/n′]Σ ŵ_h(ȳ_h − ȳ_ds)² + Σ ŵ_h²(1 − n_h/n_h′)s_h²/n_h，第一項為層權估計之誤差，第二項為層內抽樣誤差；其中n′/N = 500/800、n_h/n_h′ = 0.2。表中各層ȳ_h與s_h數值缺漏（僅存s = 75），題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能列出上式與代入路徑。
- 三、成本函數與最佳配置：C = c_1 n′ + Σ c_h n_h = 9n′ + 400(n_1 + n_2) = 44,500。以極小化變異數為目標，令K = Σ W_h S_h/√c_h，由Lagrange乘數法可得 n_h = (n′/K)(W_h S_h/√c_h)，即 n_h ∝ W_h S_h/√c_h；因兩層c_h同為400，故 n_h ∝ W_h S_h。再代回成本式得 n′ = C/[c_1 + (1/K)Σ W_h S_h√c_h]，最後據以求各層樣本數。
- 四、最適設計下之變異數：V(ȳ_ds) = [A(1 − n′/N) − Σ W_h S_h²]/n′ + Σ W_h² S_h²/n_h，其中A = Σ W_h(Ȳ_h − Ȳ)²。以樣本量s、ŵ_h、ȳ_h、s_h取代母體量即可得估計值。因原表各層平均數與標準差缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 五、注意事項與判定：最適配置須滿足n_h ≤ n_h′與n′ ≤ N；若計算得n_h > n_h′，須截斷（truncation）後重新配置；若某層W_h S_h極小，宜設最低樣本數，以維持變異數估計之穩定性。另第一重樣本須夠大，否則ŵ_h偏誤將使ȳ_ds產生不可忽略的偏差。
欲了解2022年國內汽車銷售概況，就2000家汽車銷售業者進行調查，汽車
銷售業者分為兩大類：國產型（I）及進口型（II），業者家數分別為
N =1500
及
N =500。抽樣方法採用分層隨機抽樣，依類別分層，從每一層分別隨
機抽出10家業者進行調查。假設2021年（x）各類業者的年平均銷售量已
知為：
X =220（輛）;
X =140（輛）。
調查結果20家業者在2021年（x）及2022年（y）的銷售量統計如下：
層別
（h）變數
樣本均數
,
i
i
y x
（輛）
比率
（ˆ
h
R ）
樣本共變異數
xyh
s
樣本標準差
hs
I
y
1.2
x
II
y
1.8
x
合計
ys =110,
xs =90,
xy
s =9000
利用下列估計量估計年平均銷售量（Y ）及該估計量的變異數：（15分）
⑴
st
y ，分層隨機抽樣結合簡單均數估計量（mean per unit estimator）。
⑵
Rs
y ，分層隨機抽樣結合分開比率估計量（separate ratio estimator）。
⑶
Rc
y ，分層隨機抽樣結合混合比率估計量（combined ratio estimator）。
求算估計量
st
y 、
Rs
y 、
Rc
y 對單位均數估計量（y ）之相對效率（relative
efficiency），並說明那個估計量具有較佳精確度。（10分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分層均數估計量：ŷ_st = Σ W_h ȳ_h = 0.75ȳ_1 + 0.25ȳ_2，其中W_1 = 1500/2000 = 0.75、W_2 = 500/2000 = 0.25；變異數估計 v(ŷ_st) = Σ W_h²(1 − n_h/N_h)s_h²/n_h，f_1 = 10/1500、f_2 = 10/500。表中ȳ_h與s_h未列出，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 二、分開比率估計量（separate ratio estimator）：ŷ_Rs = Σ W_h R̂_h X̄_h = 0.75 × 1.2 × 220 + 0.25 × 1.8 × 140 = 198 + 63 = 261（輛），此部分以已知X̄_h即可算出。其變異數 v(ŷ_Rs) = Σ W_h²(1 − f_h)(s_yh² − 2R̂_h s_xyh + R̂_h² s_xh²)/n_h，需各層s_yh、s_xh、s_xyh；表中僅給合計值（s_y = 110、s_x = 90、s_xy = 9000），題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 三、混合比率估計量（combined ratio estimator）：R̂_c = Σ W_h ȳ_h / Σ W_h x̄_h，ŷ_Rc = R̂_c X̄，X̄ = 0.75 × 220 + 0.25 × 140 = 200。v(ŷ_Rc) = Σ W_h²(1 − f_h)s_d²/n_h，s_d² = s_y² − 2R̂_c s_xy + R̂_c² s_x² 為合併殘差變異數。因x̄_h未列出，若以x̄_h ≈ X̄_h代入，得R̂_c ≈ 261/200 = 1.305、ŷ_Rc ≈ 261輛；此為附帶假設之近似值，並非唯一數值。
- 四、相對效率：RE(θ̂) = v(ȳ)/v(θ̂)，其中v(ȳ) ≈ (1 − 20/2000)s_y²/20 = 0.99 × 110²/20 ≈ 598.95。由於各層s_h、s_yh等缺失，僅能列出判定規則：RE > 1表示該估計量優於單位均數估計量ȳ，數值愈大精確度愈佳；比率估計量之效率取決於y與x之相關係數ρ及R_h是否穩定。
- 五、判定與建議：當y與x高度正相關（ρ大）且各層比率R_h相近時，比率估計量之殘差變異數遠小於s_y²，效率明顯優於ŷ_st；若各層R_h差異大且層內樣本數充足，分開比率估計量較佳；若部分層樣本數過小、R̂_h不穩定，混合比率估計量較穩健。惟本題多處原始數值缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值與效率排序。