民國112年 高考三級 統計 抽樣方法
第2題
某一縣市共4000家養雞戶分散在20個村里（cluster），欲透過調查了解該 縣市養雞戶的所得狀況，抽樣方法可採用一階段集體抽樣（single-stage c…
題目
某一縣市共4000家養雞戶分散在20個村里（cluster），欲透過調查了解該 縣市養雞戶的所得狀況，抽樣方法可採用一階段集體抽樣（single-stage cluster sampling）或二階段集體抽樣（two-stage cluster sampling）。 若抽樣方法採一階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣（SRS） 抽出3個村里，就抽得的3個村里之養雞戶全數調查，調查結果村里內養 雞戶數及平均年所得列於下表： 村里 （cluster） i 養雞戶數 （ i M ） 村里內養雞戶 平均每戶年所得（百萬元） （ iy ） 5.6 採用集體大小比率估計量（ratio-to-size estimator, Ry ）估計該縣市養雞 戶平均每戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。（10分） 若抽樣方法採二階段集體抽樣，首先由20個村里以簡單隨機抽樣抽出3 個村里，再就抽得的3個村里之養雞戶以簡單隨機抽樣分別抽出1/10養 雞戶進行調查，調查結果養雞戶之平均所得列於下表： 村里 （cluster） i 農戶數 （ i M ） 抽出養雞戶數 （ i m ） 村里內抽得之養雞戶平均 每戶年所得及標準差 （百萬元） （ , i i y s ） iy is 試問：（15分） ⑴本抽樣設計第一階段的抽樣單位（primary sampling unit, PSU）及第 二階段的抽樣單位（secondary sampling unit, SSU）分別為何？ ⑵採用不偏估計量（unbiased estimator, y ）估計該縣市養雞戶平均每 戶年所得（以百萬元為單位）及該估計量之標準誤。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、一階段集體抽樣之比率估計量（ratio-to-size estimator）：以村里為抽樣單位，抽中村里全數調查，故 y_i = M_i ȳ_i 為第i村里總所得。母體平均每戶年所得之估計量 ȓ = Σ(i∈s) y_i / Σ(i∈s) M_i = Σ M_i ȳ_i / Σ M_i，屬比率估計，僅近似不偏（偏差階數O(1/n)）；當M_i與ȳ_i相關性高時，效率優於展開估計量。
- 二、其變異數估計量與計算步驟：v(ȓ) = (1 − n/N)/(n M̄²) × [Σ(y_i − ȓM_i)²/(n − 1)]，M̄ = Σ M_i/n 為樣本村里平均戶數，標準誤 se(ȓ) = √v(ȓ)。步驟為先算各村里總所得y_i、殘差e_i = y_i − ȓM_i、殘差平方和，再乘fpc與1/(nM̄²)。本題N = 20、n = 3，惟表中M_i與ȳ_i僅存「5.6」一值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 三、二階段集體抽樣之抽樣單位：第一階段抽樣單位（primary sampling unit, PSU）為「村里」，共20個；第二階段抽樣單位（secondary sampling unit, SSU）為「村里內之養雞戶」。因各村里按1/10抽出，m_i = M_i/10，屬自加權（self-weighting）設計，每戶被抽機率均為(3/20)×(1/10)。
- 四、不偏估計量：母體總戶數M_0 = 4000已知，總所得之不偏估計量 Ŷ = (N/n)Σ M_i ȳ_i，故平均每戶年所得 ȳ = Ŷ/M_0 = (20/3)Σ M_i ȳ_i/4000。若各村里規模相近，亦常用等權重式 ȳ = (1/n)Σ ȳ_i，即等機率抽樣下之單位均數估計量（mean per unit estimator）。
- 五、變異數估計量與比較：v(ȳ) = (1/M_0²){N²(1 − n/N)s_u²/n + (N/n)Σ M_i²(1 − m_i/M_i)s_i²/m_i}，s_u² = Σ(M_iȳ_i − M̄_s)²/(n − 1)，M̄_s = (1/n)ΣM_iȳ_i。一階段僅含村里間誤差，但調查成本高；二階段增加第二階段抽樣誤差，卻大幅節省成本。表中M_i、m_i、ȳ_i、s_i多數缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。