民國112年 高考三級 統計 抽樣方法
第4題
欲了解2022年國內汽車銷售概況，就2000家汽車銷售業者進行調查，汽車 銷售業者分為兩大類：國產型（I）及進口型（II），業者家數分別為 N =1500 及…
題目
欲了解2022年國內汽車銷售概況，就2000家汽車銷售業者進行調查，汽車 銷售業者分為兩大類：國產型（I）及進口型（II），業者家數分別為 N =1500 及 N =500。抽樣方法採用分層隨機抽樣，依類別分層，從每一層分別隨 機抽出10家業者進行調查。假設2021年（x）各類業者的年平均銷售量已 知為： X =220（輛）; X =140（輛）。 調查結果20家業者在2021年（x）及2022年（y）的銷售量統計如下： 層別 （h）變數 樣本均數 , i i y x （輛） 比率 （ˆ h R ） 樣本共變異數 xyh s 樣本標準差 hs I y 1.2 x II y 1.8 x 合計 ys =110, xs =90, xy s =9000 利用下列估計量估計年平均銷售量（Y ）及該估計量的變異數：（15分） ⑴ st y ，分層隨機抽樣結合簡單均數估計量（mean per unit estimator）。 ⑵ Rs y ，分層隨機抽樣結合分開比率估計量（separate ratio estimator）。 ⑶ Rc y ，分層隨機抽樣結合混合比率估計量（combined ratio estimator）。 求算估計量 st y 、 Rs y 、 Rc y 對單位均數估計量（y ）之相對效率（relative efficiency），並說明那個估計量具有較佳精確度。（10分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分層均數估計量：ŷ_st = Σ W_h ȳ_h = 0.75ȳ_1 + 0.25ȳ_2，其中W_1 = 1500/2000 = 0.75、W_2 = 500/2000 = 0.25；變異數估計 v(ŷ_st) = Σ W_h²(1 − n_h/N_h)s_h²/n_h，f_1 = 10/1500、f_2 = 10/500。表中ȳ_h與s_h未列出，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 二、分開比率估計量（separate ratio estimator）：ŷ_Rs = Σ W_h R̂_h X̄_h = 0.75 × 1.2 × 220 + 0.25 × 1.8 × 140 = 198 + 63 = 261（輛），此部分以已知X̄_h即可算出。其變異數 v(ŷ_Rs) = Σ W_h²(1 − f_h)(s_yh² − 2R̂_h s_xyh + R̂_h² s_xh²)/n_h，需各層s_yh、s_xh、s_xyh；表中僅給合計值（s_y = 110、s_x = 90、s_xy = 9000），題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 三、混合比率估計量（combined ratio estimator）：R̂_c = Σ W_h ȳ_h / Σ W_h x̄_h，ŷ_Rc = R̂_c X̄，X̄ = 0.75 × 220 + 0.25 × 140 = 200。v(ŷ_Rc) = Σ W_h²(1 − f_h)s_d²/n_h，s_d² = s_y² − 2R̂_c s_xy + R̂_c² s_x² 為合併殘差變異數。因x̄_h未列出，若以x̄_h ≈ X̄_h代入，得R̂_c ≈ 261/200 = 1.305、ŷ_Rc ≈ 261輛；此為附帶假設之近似值，並非唯一數值。
- 四、相對效率：RE(θ̂) = v(ȳ)/v(θ̂)，其中v(ȳ) ≈ (1 − 20/2000)s_y²/20 = 0.99 × 110²/20 ≈ 598.95。由於各層s_h、s_yh等缺失，僅能列出判定規則：RE > 1表示該估計量優於單位均數估計量ȳ，數值愈大精確度愈佳；比率估計量之效率取決於y與x之相關係數ρ及R_h是否穩定。
- 五、判定與建議：當y與x高度正相關（ρ大）且各層比率R_h相近時，比率估計量之殘差變異數遠小於s_y²，效率明顯優於ŷ_st；若各層R_h差異大且層內樣本數充足，分開比率估計量較佳；若部分層樣本數過小、R̂_h不穩定，混合比率估計量較穩健。惟本題多處原始數值缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值與效率排序。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。