民國112年 高考三級 統計 抽樣方法
第3題
欲了解某區域養殖漁戶營運狀況，該區域共有800家養殖漁戶，首先由該 區域抽得一個包含500戶（第一重樣本 n ）的簡單隨機樣本以取得養 殖型態（是否為漁電共生的…
題目
欲了解某區域養殖漁戶營運狀況，該區域共有800家養殖漁戶，首先由該 區域抽得一個包含500戶（第一重樣本 n ）的簡單隨機樣本以取得養 殖型態（是否為漁電共生的層別資訊），調查得知其中100戶為漁電共生 戶，進而以簡單隨機抽樣由漁電共生及非漁電共生的養殖漁戶分別抽20% 以調查其營運成本資訊，調查結果整理如下表： 養殖型態（層別） 第一重樣本 （戶） hn 第二重樣本 （戶） hn 養殖漁戶年營運成本 平均年營運成本 iy （十萬元） 標準差 is （十萬元） 漁電共生（I） 非漁電共生（II） 合計 500（n ） 100（n ） 75（s） 估計該區域養殖漁戶平均年營運成本（Y ）（以十萬元為單位）及該估計 量的標準誤。（10分） 如果此調查總預算為44,500元，取得養殖型態的單位成本為9元，調查 營運成本的單位成本為400元（ 9, h c c ），有關標準差、各層權 重、各層平均年營運成本及標準差之母體資訊分別以前述樣本資料（s, i i n w n , iy , is ）取代。試求：（15分） ⑴決定分層雙重抽樣的最佳抽樣設計（Optimum double sample plan）， 亦即求算 h n n 、。 ⑵就⑴的抽樣設計求算平均年營運成本估計量（以十萬元為單位）的 變異數。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設計名稱與估計量：本題為分層雙重抽樣（double sampling for stratification）。第一重樣本n′ = 500戶僅調查養殖型態以估計層權，第二重樣本自各層按20%抽出（n_1 = 20、n_2 = 80）調查營運成本。平均年營運成本估計量 ȳ_ds = Σ ŵ_h ȳ_h，ŵ_h = n_h′/n′，即 ŵ_1 = 100/500 = 0.2、ŵ_2 = 400/500 = 0.8，故 ȳ_ds = 0.2ȳ_1 + 0.8ȳ_2（十萬元）。
- 二、標準誤：v(ȳ_ds) = [(1 − n′/N)/n′]Σ ŵ_h(ȳ_h − ȳ_ds)² + Σ ŵ_h²(1 − n_h/n_h′)s_h²/n_h，第一項為層權估計之誤差，第二項為層內抽樣誤差；其中n′/N = 500/800、n_h/n_h′ = 0.2。表中各層ȳ_h與s_h數值缺漏（僅存s = 75），題目資料缺漏，無法得出唯一數值，僅能列出上式與代入路徑。
- 三、成本函數與最佳配置：C = c_1 n′ + Σ c_h n_h = 9n′ + 400(n_1 + n_2) = 44,500。以極小化變異數為目標，令K = Σ W_h S_h/√c_h，由Lagrange乘數法可得 n_h = (n′/K)(W_h S_h/√c_h)，即 n_h ∝ W_h S_h/√c_h；因兩層c_h同為400，故 n_h ∝ W_h S_h。再代回成本式得 n′ = C/[c_1 + (1/K)Σ W_h S_h√c_h]，最後據以求各層樣本數。
- 四、最適設計下之變異數：V(ȳ_ds) = [A(1 − n′/N) − Σ W_h S_h²]/n′ + Σ W_h² S_h²/n_h，其中A = Σ W_h(Ȳ_h − Ȳ)²。以樣本量s、ŵ_h、ȳ_h、s_h取代母體量即可得估計值。因原表各層平均數與標準差缺漏，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 五、注意事項與判定：最適配置須滿足n_h ≤ n_h′與n′ ≤ N；若計算得n_h > n_h′，須截斷（truncation）後重新配置；若某層W_h S_h極小，宜設最低樣本數，以維持變異數估計之穩定性。另第一重樣本須夠大，否則ŵ_h偏誤將使ȳ_ds產生不可忽略的偏差。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。