民國112年 高考三級 統計 統計學
第1題
若隨機變數ܻ|ܺ= ݔ∼ܷ(0, ݔ)且ܺ∼ܷ(0,1)，其中ܷ代表連續均勻分配。 試求： (ܺ, ܻ)的聯合密度函數݂(ݔ, ݕ)。（5分） ܻ的機率密度…
題目
若隨機變數ܻ|ܺ= ݔ∼ܷ(0, ݔ)且ܺ∼ܷ(0,1)，其中ܷ代表連續均勻分配。 試求： (ܺ, ܻ)的聯合密度函數݂(ݔ, ݕ)。（5分） ܻ的機率密度函數݂(ݕ)。（5分） ܧ(ܻ)、ܸܽݎ(ܻ)、ܧ(ܻܺ)、ܥݒ(ܺ, ܻ)、ߩ。（15分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、聯合密度函數：由乘法法則 f(x,y)=f_{Y|X}(y|x)·f_X(x)。已知 X∼U(0,1)，故 f_X(x)=1，0<x<1；給定 X=x 時 Y∼U(0,x)，故 f_{Y|X}(y|x)=1/x，0<y<x。兩者相乘得 f_{X,Y}(x,y)=1/x，定義域為 0<y<x<1，其餘為 0。可驗證 ∫₀¹∫₀ˣ(1/x)dy dx=∫₀¹ 1 dx=1，確實為合法密度。
- 二、Y 的邊際密度：對 x 積分，積分下限為 y、上限為 1，f_Y(y)=∫_y^1 (1/x)dx=[ln x]_y^1=−ln y，0<y<1。此為負對數型密度，y→0⁺ 時趨於無窮大、y→1⁻ 時趨於 0，圖形呈單調遞減且下凹；驗證 ∫₀¹(−ln y)dy=1，邊際密度正確。
- 三、期望值與變異數：E(Y)=∫₀¹ y(−ln y)dy=1/4（分部積分，或利用 E(Y)=E[E(Y|X)]=E(X/2)=1/4）。E(Y²)=∫₀¹ y²(−ln y)dy=1/9，故 Var(Y)=1/9−(1/4)²=1/9−1/16=7/144≈0.0486。另 Var(X)=(1−0)²/12=1/12。
- 四、共變異數：E(XY)=E[X·E(Y|X)]=E[X·(X/2)]=E(X²)/2=(1/3)/2=1/6。因 E(X)=1/2、E(Y)=1/4，故 Cov(X,Y)=1/6−(1/2)(1/4)=1/6−1/8=1/24≈0.0417，為正值。
- 五、相關係數：ρ=Cov(X,Y)/√[Var(X)Var(Y)]=(1/24)/√[(1/12)(7/144)]=(1/24)/√(7/1728)=√(3/7)≈0.6547。正值之直覺在於 Y 的分布上界隨 X 增大而右移，兩者呈正線性關聯，惟相關程度屬中度。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。