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民國112年 高考三級 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
若隨機變數ܻ|ܺ= ݔ∼ܷ(0, ݔ)且ܺ∼ܷ(0,1)，其中ܷ代表連續均勻分配。
試求：
(ܺ, ܻ)的聯合密度函數݂(ݔ, ݕ)。（5分）
ܻ的機率密度函數݂(ݕ)。（5分）
ܧ(ܻ)、ܸܽݎ(ܻ)、ܧ(ܻܺ)、ܥݒ(ܺ, ܻ)、ߩ。（15分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、聯合密度函數：由乘法法則 f(x,y)=f_{Y|X}(y|x)·f_X(x)。已知 X∼U(0,1)，故 f_X(x)=1，0<x<1；給定 X=x 時 Y∼U(0,x)，故 f_{Y|X}(y|x)=1/x，0<y<x。兩者相乘得 f_{X,Y}(x,y)=1/x，定義域為 0<y<x<1，其餘為 0。可驗證 ∫₀¹∫₀ˣ(1/x)dy dx=∫₀¹ 1 dx=1，確實為合法密度。 二、Y 的邊際密度：對 x 積分，積分下限為 y、上限為 1，f_Y(y)=∫_y^1 (1/x)dx=[ln x]_y^1=−ln y，0<y<1。此為負對數型密度，y→0⁺ 時趨於無窮大、y→1⁻ 時趨於 0，圖形呈單調遞減且下凹；驗證 ∫₀¹(−ln y)dy=1，邊際密度正確。 三、期望值與變異數：E(Y)=∫₀¹ y(−ln y)dy=1/4（分部積分，或利用 E(Y)=E[E(Y|X)]=E(X/2)=1/4）。E(Y²)=∫₀¹ y²(−ln y)dy=1/9，故 Var(Y)=1/9−(1/4)²=1/9−1/16=7/144≈0.0486。另 Var(X)=(1−0)²/12=1/12。 四、共變異數：E(XY)=E[X·E(Y|X)]=E[X·(X/2)]=E(X²)/2=(1/3)/2=1/6。因 E(X)=1/2、E(Y)=1/4，故 Cov(X,Y)=1/6−(1/2)(1/4)=1/6−1/8=1/24≈0.0417，為正值。 五、相關係數：ρ=Cov(X,Y)/√[Var(X)Var(Y)]=(1/24)/√[(1/12)(7/144)]=(1/24)/√(7/1728)=√(3/7)≈0.6547。正值之直覺在於 Y 的分布上界隨 X 增大而右移，兩者呈正線性關聯，惟相關程度屬中度。
已知變異數是25，平均數ߤ未知之常態分配中取出樣本大小為݊之隨機樣
本ܺଵ, ܺଶ, ⋯, ܺ，在顯著水準α=0.05下，檢定假設ܪ：μ=30 vs. ܪଵ：μ<30。
若希望μ=26.7時之檢定力達0.975，則需要多少樣本數？（25分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、檢定架構：母體為常態、變異數已知 σ²=25（σ=5），檢定 H₀：μ=30 對 H₁：μ<30，屬左尾檢定。α=0.05 時臨界值為 −z₀.₀₅=−1.645，拒絕域為 Z=(X̄−30)/(5/√n)<−1.645，等價於 X̄<30−1.645(5/√n)。 二、檢定力函數：Power(μ)=P(拒絕 H₀|μ)=P(X̄<30−8.225/√n|μ)=P(Z<[30−8.225/√n−μ]/(5/√n))=Φ(−1.645+(30−μ)√n/5)。此式顯示 μ 離 30 越遠或 n 越大，檢定力越高。 三、代入指定點：令 μ=26.7，要求 Φ(−1.645+3.3√n/5)=0.975。因 z₀.₉₇₅=1.96，故 −1.645+0.66√n=1.96，即 0.66√n=3.605。 四、求解樣本數：√n=3.605/0.66=5.4621，n=29.83。樣本數須為整數且檢定力不得低於 0.975，故無條件進位取 n=30。 五、驗算與說明：n=30 時 √n=5.4772，0.66×5.4772=3.6150，−1.645+3.6150=1.9700，檢定力≈Φ(1.97)=0.9756≥0.975；若取 n=29，則檢定力≈Φ(1.909)=0.9719<0.975，不足。故答案為 n=30。
欲比較三種不同的植物荷爾蒙（A、B、C）對癒傷組織新芽分化的影響。
每種植物荷爾蒙均重複五次實驗，分別測量所誘導出的新芽長度（cm），
得到資料如下：
荷爾蒙
A
B
C
1.7
0.4
1.1
1.6
0.5
1.0
1.5
0.3
0.7
1.9
0.2
0.8
1.2
0.3
0.5
試列出變異數分析（ANOVA）表及詳細計算過程。（10分）
試問3種植物荷爾蒙對誘導出的新芽長度的效果是否相等（α=0.05）？
請詳細寫出a.虛無與對立假設、b.檢定統計量公式、c.拒絕域、d.檢定值
之計算過程、e.檢定結果與結論。（10分）
資料需符合那3個假設？（5分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料整理：A 組（1.7,1.6,1.5,1.9,1.2）和 7.9、平均 1.58；B 組（0.4,0.5,0.3,0.2,0.3）和 1.7、平均 0.34；C 組（1.1,1.0,0.7,0.8,0.5）和 4.1、平均 0.82。總和 13.7，N=15，總平均 Ȳ=0.9133，每組 n=5。 二、平方和計算：組間 SSB=Σnᵢ(Ȳᵢ−Ȳ)²=5[(0.6667)²+(−0.5733)²+(−0.0933)²]=5(0.78187)=3.9093。組內 SSE=ΣΣ(Yᵢⱼ−Ȳᵢ)²=0.268+0.052+0.228=0.548。總平方和 SST=4.4573。 三、ANOVA 表：變異來源／SS／df／MS／F。組間（荷爾蒙）3.9093／2／1.9547／42.80；組內（誤差）0.548／12／0.04567；總計 4.4573／14。其中 MSB=SSB/2、MSE=SSE/12、F=MSB/MSE=1.9547/0.04567=42.80。 四、假設檢定：a. H₀：μA=μB=μC（三種荷爾蒙效果相等），H₁：三組平均不全相等。b. 檢定統計量 F=MSB/MSE。c. 拒絕域 F>F₀.₀₅(2,12)=3.89。d. 檢定值 F=42.80。e. 因 42.80>3.89，拒絕 H₀。 五、結論與前提：三種植物荷爾蒙對新芽長度的效果不全相等，A 組最佳、B 組最差，可再以 Tukey HSD 或 LSD 做事後多重比較。ANOVA 三項假設為：各觀察值相互獨立、各組母體常態分配、各組變異數同質（homoscedasticity）。
某電子公司想瞭解某電子組件之壽命，於是隨機取出樣本大小為n=10的
隨機樣本ܺ1,ܺ2,⋯,ܺ10，其中ܺ݅表示每個電子組件之壽命。若得到的樣本
數據為9，3，5，7，2，3，1，4，8，4（單位：10,000小時），請使用符號
檢定方法，以α=0.05來檢定電子組件之壽命的中位數是否有顯著超過2.5
萬小時？（25分）
附表一
1 z
zα 2
N(0, 1)
α
P(Z≤z)=∅(z)=
2 /2
z
w
e
dw
[ (
)
( )]
z
z
z
Zα
Zα/2
α
∅(z)
表二
附表二：F0.05(v1, v2)值表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設定：令 M 為電子組件壽命的中位數（單位：萬小時）。檢定 H₀：M=2.5 對 H₁：M>2.5，為右尾檢定，α=0.05。符號檢定以觀測值與 2.5 之差的正負號計數，資料中無恰等於 2.5 者，故 n=10 全數保留。 二、符號統計量：大於 2.5 者有 9、3、5、7、3、4、8、4 共 8 個，S⁺=8；小於 2.5 者有 2、1 共 2 個，S⁻=2。在 H₀ 下每筆觀測值高於或低於中位數的機率各為 0.5，故 S⁺∼Bin(10,0.5)。 三、拒絕域與 p 值：右尾拒絕域取 S⁺≥k，k 為使 P(S⁺≥k)≤0.05 的最小整數。P(S⁺≥8)=[C(10,8)+C(10,9)+C(10,10)]/2¹⁰=(45+10+1)/1024=56/1024=0.0547；P(S⁺≥9)=11/1024=0.0107。故 k=9，拒絕域為 S⁺≥9。 四、檢定結果：S⁺=8 未落入拒絕域，p 值 0.0547>0.05，不拒絕 H₀。結論：在 5% 顯著水準下，無充分證據認定電子組件壽命中位數顯著超過 2.5 萬小時，僅達邊際水準，若要主張超過宜增大樣本。 五、補充說明：若以常態近似並作連續性校正，Z=(7.5−5)/√(10×0.25)=1.581<1.645，結論一致；若不校正則 Z=1.897 會誤判為拒絕，故小樣本應採精確二項機率。另符號檢定僅用正負號，對離群值穩健，但損失了量的大小資訊，檢定力較低。