民國112年 高考三級 統計 統計學
第2題
已知變異數是25，平均數ߤ未知之常態分配中取出樣本大小為݊之隨機樣 本ܺଵ, ܺଶ, ⋯, ܺ，在顯著水準α=0.05下，檢定假設ܪ：μ=30 vs. ܪଵ…
題目
已知變異數是25，平均數ߤ未知之常態分配中取出樣本大小為݊之隨機樣 本ܺଵ, ܺଶ, ⋯, ܺ，在顯著水準α=0.05下，檢定假設ܪ：μ=30 vs. ܪଵ：μ<30。 若希望μ=26.7時之檢定力達0.975，則需要多少樣本數？（25分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、檢定架構：母體為常態、變異數已知 σ²=25（σ=5），檢定 H₀：μ=30 對 H₁：μ<30，屬左尾檢定。α=0.05 時臨界值為 −z₀.₀₅=−1.645，拒絕域為 Z=(X̄−30)/(5/√n)<−1.645，等價於 X̄<30−1.645(5/√n)。
- 二、檢定力函數：Power(μ)=P(拒絕 H₀|μ)=P(X̄<30−8.225/√n|μ)=P(Z<[30−8.225/√n−μ]/(5/√n))=Φ(−1.645+(30−μ)√n/5)。此式顯示 μ 離 30 越遠或 n 越大，檢定力越高。
- 三、代入指定點：令 μ=26.7，要求 Φ(−1.645+3.3√n/5)=0.975。因 z₀.₉₇₅=1.96，故 −1.645+0.66√n=1.96，即 0.66√n=3.605。
- 四、求解樣本數：√n=3.605/0.66=5.4621，n=29.83。樣本數須為整數且檢定力不得低於 0.975，故無條件進位取 n=30。
- 五、驗算與說明：n=30 時 √n=5.4772，0.66×5.4772=3.6150，−1.645+3.6150=1.9700，檢定力≈Φ(1.97)=0.9756≥0.975；若取 n=29，則檢定力≈Φ(1.909)=0.9719<0.975，不足。故答案為 n=30。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。