民國112年 高考三級 統計 統計學
第4題
某電子公司想瞭解某電子組件之壽命，於是隨機取出樣本大小為n=10的 隨機樣本ܺ1,ܺ2,⋯,ܺ10，其中ܺ݅表示每個電子組件之壽命。若得到的樣本 數據為9，3，…
題目
某電子公司想瞭解某電子組件之壽命，於是隨機取出樣本大小為n=10的 隨機樣本ܺ1,ܺ2,⋯,ܺ10，其中ܺ݅表示每個電子組件之壽命。若得到的樣本 數據為9，3，5，7，2，3，1，4，8，4（單位：10,000小時），請使用符號 檢定方法，以α=0.05來檢定電子組件之壽命的中位數是否有顯著超過2.5 萬小時？（25分） 附表一 1 z zα 2 N(0, 1) α P(Z≤z)=∅(z)= 2 /2 z w e dw [ ( ) ( )] z z z Zα Zα/2 α ∅(z) 表二 附表二：F0.05(v1, v2)值表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設定：令 M 為電子組件壽命的中位數（單位：萬小時）。檢定 H₀：M=2.5 對 H₁：M>2.5，為右尾檢定，α=0.05。符號檢定以觀測值與 2.5 之差的正負號計數，資料中無恰等於 2.5 者，故 n=10 全數保留。
- 二、符號統計量：大於 2.5 者有 9、3、5、7、3、4、8、4 共 8 個，S⁺=8；小於 2.5 者有 2、1 共 2 個，S⁻=2。在 H₀ 下每筆觀測值高於或低於中位數的機率各為 0.5，故 S⁺∼Bin(10,0.5)。
- 三、拒絕域與 p 值：右尾拒絕域取 S⁺≥k，k 為使 P(S⁺≥k)≤0.05 的最小整數。P(S⁺≥8)=[C(10,8)+C(10,9)+C(10,10)]/2¹⁰=(45+10+1)/1024=56/1024=0.0547；P(S⁺≥9)=11/1024=0.0107。故 k=9，拒絕域為 S⁺≥9。
- 四、檢定結果：S⁺=8 未落入拒絕域，p 值 0.0547>0.05，不拒絕 H₀。結論：在 5% 顯著水準下，無充分證據認定電子組件壽命中位數顯著超過 2.5 萬小時，僅達邊際水準，若要主張超過宜增大樣本。
- 五、補充說明：若以常態近似並作連續性校正，Z=(7.5−5)/√(10×0.25)=1.581<1.645，結論一致；若不校正則 Z=1.897 會誤判為拒絕，故小樣本應採精確二項機率。另符號檢定僅用正負號，對離群值穩健，但損失了量的大小資訊，檢定力較低。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。