民國114年 高考三級 統計 統計學
第1題
搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達45 分鐘以上、或 是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達2 小時以上，旅客皆可申 請免費搭乘同區間同等級列車一次。假…
題目
搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達45 分鐘以上、或 是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達2 小時以上，旅客皆可申 請免費搭乘同區間同等級列車一次。假設上述可歸責與不可歸責之誤 點機率分別為3/4 與1/4，而其對應的每年受影響旅客人數分別服從平 均數為50 與100 之波瓦松分配。（每小題10 分，共30 分） 試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之機率分配 為何？ 試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之期望值與 標準差。 若可歸責業者與不可歸責業者之誤點時間分別服從平均數為1 小 時與5 小時之指數分配，試問誤點對號列車中，誤點時間超過2 小 時之比例約多少？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分配結構與機率質量函數：設 X 為每年可申請免費搭乘之人次，Λ 為該類誤點對應之平均受影響人次。依題意 P(Λ=50)=3/4（可歸責）、P(Λ=100)=1/4（不可歸責），且給定 Λ 時 X|Λ 服從波瓦松分配 (Poisson distribution)，即 X|Λ=50 ~ Poisson(50)、X|Λ=100 ~ Poisson(100)。此為兩成分之混合波瓦松分配 (mixture of Poisson distributions)，其機率質量函數為 P(X=k)=(3/4)·e^(-50)·50^k/k! + (1/4)·e^(-100)·100^k/k!，k=0,1,2,…。權重即為誤點類型發生機率，不可逕以單一 Poisson(62.5) 取代。
- 二、期望值：依全期望值定理 (law of total expectation)，E(X)=E[E(X|Λ)]=(3/4)×50+(1/4)×100=37.5+25=62.5。即每年平均約 62.5 人次可申請免費搭乘同區間同等級列車。此結果亦可以「加權平均數」理解：可歸責情形貢獻 37.5 人次、不可歸責情形貢獻 25 人次。
- 三、變異數與標準差：採全變異數公式 (law of total variance) Var(X)=E[Var(X|Λ)]+Var(E(X|Λ))。前者為 (3/4)(50)+(1/4)(100)=62.5；後者為 (3/4)(50-62.5)^2+(1/4)(100-62.5)^2=117.1875+351.5625=468.75。故 Var(X)=531.25，標準差 SD=√531.25≈23.05 人次。變異數遠大於平均數（531.25>62.5），呈現混合分配典型之過度離散 (overdispersion) 現象。
- 四、誤點時間之混合指數分配：設 T 為誤點時間，可歸責者 T|A ~ Exponential(mean=1)，密度 f(t)=e^(-t)；不可歸責者 T|B ~ Exponential(mean=5)，密度 f(t)=(1/5)e^(-t/5)。則 P(T>2)=(3/4)e^(-2)+(1/4)e^(-2/5)=0.75×0.1353+0.25×0.6703=0.1015+0.1676=0.2691。故誤點對號列車中，誤點超過 2 小時者約占 26.9%（約 27%）。
- 五、作答提醒與限制：本題關鍵在辨識「先依類型抽樣、再依波瓦松產生人次」的層級結構，並正確使用全期望值與全變異數公式；指數分配部分則為加權混合而非單一指數。若實務上受影響人次與誤點時間並非條件獨立，混合模型須改採聯合分配或複迴歸處理，此為模式設定之限制。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。