民國114年 高考三級 統計 統計學考古題

民國114年 高考三級 統計 統計學收錄考選部官方試題，共 3 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達45 分鐘以上、或 是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達2 小時以上，旅客皆可申 請免費搭乘同區間同等級列車一次。假設上述可歸責與不可歸責之誤 點機率分別為3/4 與1/4，而其對應的每年受影響旅客人數分別服從平 均數為50 與100 之波瓦松分配。（每小題10 分，共30 分） 試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之機率分配 為何？ 試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之期望值與 標準差。 若可歸責業者與不可歸責業者之誤點時間分別服從平均數為1 小 時與5 小時之指數分配，試問誤點對號列車中，誤點時間超過2 小 時之比例約多少？

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、分配結構與機率質量函數：設 X 為每年可申請免費搭乘之人次，Λ 為該類誤點對應之平均受影響人次。依題意 P(Λ=50)=3/4（可歸責）、P(Λ=100)=1/4（不可歸責），且給定 Λ 時 X|Λ 服從波瓦松分配 (Poisson distribution)，即 X|Λ=50 ~ Poisson(50)、X|Λ=100 ~ Poisson(100)。此為兩成分之混合波瓦松分配 (mixture of Poisson distributions)，其機率質量函數為 P(X=k)=(3/4)·e^(-50)·50^k/k! + (1/4)·e^(-100)·100^k/k!，k=0,1,2,…。權重即為誤點類型發生機率，不可逕以單一 Poisson(62.5) 取代。
  • 二、期望值：依全期望值定理 (law of total expectation)，E(X)=E[E(X|Λ)]=(3/4)×50+(1/4)×100=37.5+25=62.5。即每年平均約 62.5 人次可申請免費搭乘同區間同等級列車。此結果亦可以「加權平均數」理解：可歸責情形貢獻 37.5 人次、不可歸責情形貢獻 25 人次。
  • 三、變異數與標準差：採全變異數公式 (law of total variance) Var(X)=E[Var(X|Λ)]+Var(E(X|Λ))。前者為 (3/4)(50)+(1/4)(100)=62.5；後者為 (3/4)(50-62.5)^2+(1/4)(100-62.5)^2=117.1875+351.5625=468.75。故 Var(X)=531.25，標準差 SD=√531.25≈23.05 人次。變異數遠大於平均數（531.25>62.5），呈現混合分配典型之過度離散 (overdispersion) 現象。
  • 四、誤點時間之混合指數分配：設 T 為誤點時間，可歸責者 T|A ~ Exponential(mean=1)，密度 f(t)=e^(-t)；不可歸責者 T|B ~ Exponential(mean=5)，密度 f(t)=(1/5)e^(-t/5)。則 P(T>2)=(3/4)e^(-2)+(1/4)e^(-2/5)=0.75×0.1353+0.25×0.6703=0.1015+0.1676=0.2691。故誤點對號列車中，誤點超過 2 小時者約占 26.9%（約 27%）。
  • 五、作答提醒與限制：本題關鍵在辨識「先依類型抽樣、再依波瓦松產生人次」的層級結構，並正確使用全期望值與全變異數公式；指數分配部分則為加權混合而非單一指數。若實務上受影響人次與誤點時間並非條件獨立，混合模型須改採聯合分配或複迴歸處理，此為模式設定之限制。

第2題

育嬰津貼的實施是否提升各市鎮新生兒人數？隨機抽取14 個市鎮， 得到實施前後之新生兒人數（單位：百人）統計如下： （每小題10 分，共40 分） 實施前120 實施後124 顯著水準為0.05 之下，試以t 檢定說明是否育嬰津貼實施後新生 兒人數增加。 若實施後各市鎮新生兒人數平均增加360 人，試問 中檢定方法之 型二誤差為何？ 試以直方圖判斷本題使用t 檢定所需的常態假設之合理性。 顯著水準為0.05 之下，試以Wilcoxon 無母數方法進行檢定。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、檢定架構：本題為配對樣本 (paired samples) 設計，令 D_i=Y_i−X_i（實施後減實施前，單位百人），i=1,…,14。檢定 H0：μ_D≤0 對 H1：μ_D>0（津貼使新生兒增加）。統計量 t=D̄/(S_D/√14)，其中 D̄=ΣD_i/14、S_D^2=Σ(D_i−D̄)^2/13，自由度 df=13。α=0.05 單尾臨界值 t(0.05,13)=1.771，故 t>1.771 時拒絕 H0，否則不拒絕。
  • 二、資料與計算步驟：題幹僅呈現「實施前 120、實施後 124」一組數值，其餘 13 個市鎮之配對資料未完整顯示，故 D̄ 與 S_D 均無法確定，t 值與檢定結論無法算出。答題時應明確寫出：題目資料缺漏，無法得出唯一數值。若 120 與 124 恰為前後平均數，則 D̄=4（百人，即 400 人），仍須有 S_D 方能求得 t；步驟為先算各市鎮差異、再算平均與標準差、最後代入統計量並與 1.771 比較。
  • 三、型二誤差：β=P(不拒絕 H0 | μ_D=3.6 百人)=P(T'<1.771)，其中 T' 服從自由度 13、非中心參數 δ=(3.6−0)/(σ_D/√14)=13.47/σ_D 之非中心 t 分配 (noncentral t distribution)；檢定力 power=1−β。實作上以樣本標準差 s_D 估計 σ_D，再查非中心 t 表或軟體求算。因 σ_D（或 s_D）未給，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；僅能指出 s_D 越小則 δ 越大、β 越趨近 0。
  • 四、常態假設之直方圖判斷：應以 14 個 D_i 繪製直方圖（橫軸為新生兒增減人數、縱軸為市鎮個數），觀察是否單峰、大致對稱、呈鐘形且無極端離群值；若明顯右偏、雙峰或出現遠離主體之觀測值，則常態性可疑。n=14 時直方圖解析度有限，宜併用常態機率圖 (normal Q-Q plot) 或 Shapiro-Wilk 檢定。因題目未附完整配對資料與圖形，無法實際繪製與判讀，僅能說明判準；並可補充 t 檢定在樣本不大時對輕度非常態尚屬穩健。
  • 五、Wilcoxon 符號等級檢定：計算 D_i，刪除 D_i=0 者，對 |D_i| 由小到大排序給等級（同值取平均等級），令 W+ 為正差異之等級和（n=14 時等級和總計 105）。檢定 H0：差異中位數為 0 對 H1：大於 0；查附表三，n=14、單尾 α=0.05 之臨界值為 W+≥79（雙尾 α=0.05 則為 W+≤21 或 ≥84）時拒絕 H0。大樣本可用常態近似 Z=(W+−52.5)/√253.75。因配對資料缺漏，W+ 無法計算，故無法得出檢定結論，僅能列出上述判定規則。

第3題

超過5 成的企業預期未來幾年的AI 人力需求將持續上升，特別 是在生成式AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去 20 個月的資料顯示市場對於AI 人才之需求呈線性成長趨勢， 今考慮需求人數 y 對時間之簡單線性模型，得到 ˆ 362, 4766, 7975, ( ) 15.25 i i i i i y iy y y y 。 （每小題10 分，共30 分） 試求回歸方程式。 試寫出ANOVA 表。 試寫出此模型之假設，並根據以下殘差圖說明模型假設是否合理。 residual t 附表一：t 表 Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383 附表二 Critical Values for the Wilcoxon Rank-Sum Test 附表三 Critical Values for the Wilcoxon Signed-Rank Test

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、前置統計量：n=20，以 t=1,2,…,20 為時間變數，Σt=210、Σt^2=2870，故 t̄=10.5；Σy=362，ȳ=18.1。離差平方和為 S_tt=2870−210^2/20=2870−2205=665；S_ty=4766−210×362/20=4766−3801=965；S_yy=7975−362^2/20=7975−6552.2=1422.8。此三量為估計迴歸係數與編製 ANOVA 表之基礎。
  • 二、迴歸方程式：最小平方估計 (ordinary least squares) 為 b1=S_ty/S_tt=965/665=1.4511，b0=ȳ−b1·t̄=18.1−1.4511×10.5=18.1−15.2368=2.863。故迴歸式為 ŷ=2.863+1.451t。斜率 1.451 表示時間每增加一個月，AI 人才需求平均增加約 1.45 個單位（單位同 y），與「線性成長趨勢」之描述一致；b0 為 t=0 之外推截距，實務意義有限。
  • 三、ANOVA 表：SST=1422.8（df=19）、SSE=15.25（df=n−2=18）、SSR=SST−SSE=1407.55（df=1）；MSR=1407.55、MSE=15.25/18=0.8472，F=MSR/MSE=1661.4。變異數分析表欄位為來源、自由度、平方和、均方、F 值。因 F(0.05,1,18)=4.41，F 遠大於臨界值，拒絕 H0：β1=0，判定需求與時間具顯著線性關係；判定係數 R^2=1407.55/1422.8=0.9893，估計標準誤 s=√0.8472=0.920。
  • 四、補充說明：若以 SSR=b1·S_ty=1.4511×965=1400.34 計算，與 SST−SSE 之 1407.55 相差約 7.2，係題給統計量四捨五入或設定不一致所致；此時 SST=1415.59、F≈1652.9，R^2≈0.9892，統計結論完全相同。考生宜註明所採算法，避免前後數字矛盾。
  • 五、模型假設：簡單線性模型 y_t=β0+β1t+ε_t 之假設為：(1) 線性與零均值，E(ε_t)=0；(2) 同質變異數，Var(ε_t)=σ^2；(3) 誤差相互獨立（無序列相關）；(4) 誤差服從常態分配，以支持 t 與 F 檢定及信賴區間；(5) 時間 t 為固定常數、無測量誤差。
  • 六、殘差圖判讀與建議：以殘差 ê_t 對 t（或 ŷ）作圖，理想圖形為殘差隨機散佈於 0 附近之水平帶狀，無明顯曲線、無擴散或收斂趨勢。若呈漏斗狀代表異質變異數，可考慮加權最小平方或對 y 取對數；若呈 U 形或系統性曲線代表非線性，應加入二次項；若有離群點或殘差隨時間呈序列相關，則須檢查資料或改採時間序列模型。題目僅顯示座標軸 residual 與 t，未附圖形內容，故無法判讀假設是否合理，考生應依上述準則說明判讀方式，並提醒依實際圖形繪製與判定。